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Matematica: funzioni logaritmiche, esponenziali e iperboliche
Simone Malacrida
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Matematica: funzioni logaritmiche, esponenziali e iperboliche
Simone Malacrida
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Citations
Ă propos de ce livre
In questo libro sono presentati i presupposti teorici dei seguenti argomenti matematici:
funzioni logaritmiche
funzioni esponenziali
funzioni iperboliche
Ogni argomento Ăš trattato mettendo in risalto le applicazioni pratiche e risolvendo alcuni esercizi significativi.
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Sujet
MatematicaSous-sujet
AlgebraII
FUNZIONI LOGARITMICHE
Definizione e proprietĂ
La funzione inversa dellâelevamento a potenza dato dalle funzioni esponenziali Ăš detto logaritmo.
Il logaritmo Ăš dunque un numero che, in una data base, Ăš lâesponente al quale la base deve essere elevata per ottenere il numero medesimo.
Tradotto in formule si ha:
E si legge ây Ăš il logaritmo in base a di xâ.
Dalle proprietĂ delle potenze si vede che a deve essere per forza positivo.
Difatti se fosse negativo, lâelevamento a potenza non sarebbe definito per tutti i numeri reali e se fosse nullo lâoperazione di logaritmo sarebbe o impossibile o indeterminata.
Inoltre a non potrĂ mai essere uguale a uno in quanto si avrebbe il medesimo caso di impossibilitĂ o indeterminatezza.
Tutto ciĂČ deriva da quanto detto per le potenze, in particolare che una base pari rispettivamente a zero e uno restituisce sempre zero o uno indipendentemente dallâesponente.
Proprio dalle proprietĂ delle potenze si ricava una condizione di esistenza circa lâargomento del logaritmo che deve essere per forza sempre positivo.
Per fare ciĂČ, sono molto utili le seguenti proprietĂ dei logaritmi:
Che generalizzano gli elementi neutri e le trasformazioni da numeri a logaritmi.
Inoltre il logaritmo di un prodotto Ăš pari alla somma dei logaritmi e il logaritmo di un quoziente Ăš pari alla differenza tra logaritmi:
Queste proprietĂ riportano le operazioni di moltiplicazione e divisione tra numeri qualunque in semplici addizioni e sottrazioni di logaritmi.
Allo stesso modo si possono semplificare lâelevamento a potenza e lâestrazione di radice, semplicemente con coefficienti moltiplicativi da anteporre al logaritmo, come segue:
Con queste proprietĂ Ăš anche semplice cambiare base ad un logaritmo:
Un caso particolare Ăš dato dallo scambio tra base del logaritmo e argomento dello stesso:
Tutte le proprietĂ dei logaritmi altro non sono se non una diversa formulazione delle proprietĂ delle potenze.
Le basi fondamentali dei logaritmi sono la base dieci, detti logaritmi decimali e indicati solamente con la dicitura log omettendo il pedice dieci e la base data dal numero di Nepero, chiamata anche base naturale il cui logaritmo (naturale) Ăš indicato con la sigla ln.
Dato un generico logaritmo, se la base Ăš maggiore di uno (e lâargomento Ăš per forza maggiore di zero, per le condizioni di esistenza), il grafico Ăš dato dalla seguente figura:
Nel...