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Esercizi di matematica: analisi funzionale
Simone Malacrida
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Esercizi di matematica: analisi funzionale
Simone Malacrida
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Citations
Ă propos de ce livre
In questo libro sono svolti degli esercizi riguardo i seguenti argomenti matematici:
spazi di Banach e di Hilbert
operazioni in spazi vettoriali
misura e integrale di Lebesgue
Sono altresĂŹ presentati dei cenni teorici iniziali per fare comprendere lo svolgimento degli esercizi.
Foire aux questions
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Est-ce que Esercizi di matematica: analisi funzionale est un PDF/ePUB en ligne ?
Oui, vous pouvez accĂ©der Ă Esercizi di matematica: analisi funzionale par Simone Malacrida en format PDF et/ou ePUB ainsi quâĂ dâautres livres populaires dans Mathematics et Functional Analysis. Nous disposons de plus dâun million dâouvrages Ă dĂ©couvrir dans notre catalogue.
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Sujet
MathematicsSous-sujet
Functional AnalysisI
CENNI TEORICI
Introduzione e definizioni
Lâanalisi funzionale Ăš quella parte dellâanalisi matematica che tratta lo studio degli spazi di funzioni.
Definiamo immersione una relazione tra due strutture matematiche tali che una delle due contiene un sottoinsieme dellâaltra e ne conserva le proprietĂ .
Sostanzialmente, lâimmersione estende allâanalisi funzionale il concetto di inclusione degli insiemi.
Una struttura matematica Ăš immersa in unâaltra se esiste una funzione iniettiva tale che lâimmagine della prima struttura secondo la funzione conserva tutte, o anche solo parte, delle strutture matematiche.
Lâinclusione insiemistica Ăš unâimmersione che viene detta canonica.
Unâimmersione topologica tra due spazi topologici Ăš unâimmersione se Ăš un omeomorfismo.
Unâimmersione tra spazi metrici Ăš una relazione che mantiene il concetto di distanza, a meno di un fattore di distorsione.
Dato uno spazio topologico e due sottoinsiemi V e W di esso, si dice che V Ăš immerso in modo compatto in W se la chiusura di V Ăš compatta e se:
Dati due spazi normati (a breve ne descriveremo le caratteristiche) di cui uno incluso nellâaltro, se la funzione di inclusione Ăš continua allora si dice che il primo Ăš immerso continuamente nel secondo.
Inoltre se qualsiasi insieme limitato nel primo spazio Ăš precompatto nellâaltro spazio (ossia qualunque sottosuccessione in tale insieme limitata ha una sottosuccessione che Ăš di Cauchy nella norma di riferimento), allora il primo spazio Ăš immerso in modo compatto nel secondo.
Un risultato di analisi matematica particolarmente importante in analisi funzionale Ăš il teorema di Ascoli-ArzelĂ .
Una successione di funzioni continue uniformemente limitata Ăš equicontinua se vale:
Il teorema afferma che una successione equicontinua e uniformemente limitata ammette una sottosuccessione convergente in modo uniforme.
Norme e spazi normati
Si dice spazio pseudometrico, uno spazio che ha le medesime caratteristiche di uno spazio metrico salvo la richiesta che la distanza sia diversa da zero per ogni coppia di punti distinti.
Si dice spazio ultrametrico, uno spazio nel quale la disuguaglianza triangolare assume questa forma:
Definiamo norma su uno spazio vettoriale reale o complesso una funzione omogenea, definita positiva e tale per cui vale la disuguaglianza triangolare:
Ă detta norma p la seguente funzione di R e C n-dimensionali:
La norma 1 Ăš la semplice somma dei valori assoluti, la norma 2 Ăš la cosiddetta norma euclidea:
La norma infinito Ăš invece cosĂŹ definita:
Ogni norma induce una metrica tramite la distanza cosĂŹ definita:
Ad esempio, la norma euclidea induce la metrica euclidea in uno spazio, detto appunto euclideo.
Due norme sono equivalenti se esistono due costanti tali per cui vale la seguente relazione:
Tutte le norme definibili su uno spazio vettoriale di dimensione finita sono equivalenti e inducono la stessa topolog...