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El billar no es de vagos
Ciencia, juego y diversiĂłn
Carlos Bosch
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El billar no es de vagos
Ciencia, juego y diversiĂłn
Carlos Bosch
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Ă propos de ce livre
Desde tiempos del cardenal Richelieu, cuando entre las habilidades de un mosquetero se incluĂa el saber jugar billar, hasta las pelĂculas como The Hustler y The Colour of Money, el billar siempre ha fascinado por su combinaciĂłn de juego y ciencia. Carlos Bosch demuestra con abundancia de ejemplos y mediante la resoluciĂłn de problemas geomĂ©tricos y algebraicos que el billar merece utilizarse como una lĂșdica herramienta de razonamiento. El autor toma como punto de partida el regalo de un taco de billar para esbozar la historia de este juego y explicar sus nociones bĂĄsicas y los detalles de su evoluciĂłn.
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Sujet
MathematicsSous-sujet
History & Philosophy of MathematicsIX. Cuarto sueño (otros billares)
En algĂșn momento lleguĂ© a soñar con billares de formas rectangulares diversas, elĂpticas o de formas mĂĄs caprichosas.
Las mesas de billar deben permitir que la bola rebote conforme a las leyes de reflexiĂłn; es decir, que en el punto donde toque la banda, el ĂĄngulo de entrada (incidencia) sea igual al ĂĄngulo de salida (reflexiĂłn) respecto de la tangente a la curva que delimita la mesa. Si la bola llega a algĂșn punto donde no hay tangente, entonces se âmuereâ, es decir, su trayectoria termina en ese punto. Con un poco de imaginaciĂłn podemos crear mesas de billar de forma arbitraria (figura IX.1).
EL CĂRCULO
Una mesa de billar podrĂa ser un cĂrculo, un triĂĄngulo o un cuadrilĂĄtero, entre otras figuras posibles.
Dado un punto P, supondremos que es posible trazar la trayectoria que recorre la bola: PP1P2P3... Si la bola no cae en un punto anguloso, se desplazarå tanto tiempo como queramos. Puede darse el caso de que la trayectoria regrese a PP1, en cuyo caso la bola repetirå el recorrido que ya se describió, por lo que se afirma que esta trayectoria es periódica. En términos geométricos, dichas trayectorias describen curvas cerradas, inscritas en la región determinada por la mesa de billar y que satisfacen la igualdad de los ångulos de incidencia y reflexión.
El billar con el que trabajaremos ahora serĂĄ de forma circular. Hay varias preguntas que podemos formular a este respecto: Âżexisten trayectorias periĂłdicas?, ÂżcuĂĄntas hay?, ÂżcĂłmo son?, ÂżcĂłmo reconocerlas?, Âżpor dĂłnde se desplaza la bola cuando recorre una trayectoria no periĂłdica?
Consideremos una mesa de billar en forma de disco (figura IX.2); es decir, con frontera o âbandasâ en forma de cĂrculo, C. Las trayectorias van a estar perfectamente determinadas por la sucesiĂłn de puntos P0P1P2P3P4P5...
En cada uno de los puntos Pi tenemos la igualdad de los ĂĄngulos de incidencia y de reflexiĂłn. De esta propiedad se sigue que los segmentos Pk â 1Pk son iguales, pues los ĂĄngulos Pk â 1PkM y Pk â 1PkN son iguales, de manera que Pk â 1OPk y PkOPk+1 tambiĂ©n lo son, pues intersecan el mismo arco (figura IX.3).
Por lo tanto, Pk â 1Pk es igual a PkPk + 1. Cada vĂ©rtice Pi se obtiene del anterior por una rotaciĂłn de ĂĄngulo α y centro O, el centro del cĂrculo. De manera que Pn se obtiene de P0 por medio de una rotaciĂłn de ĂĄngulo nα, de modo que la naturaleza de la trayectoria estĂĄ totalmente determinada por el valor del ĂĄngulo α. Recordemos que es normal medir los ĂĄngulos en radianes, asĂ que un ĂĄngulo de 360° corresponde a 2Ï radianes; es decir, a un giro completo. Por comodidad, α estarĂĄ medido en radianes en todo lo que sigue.
Si α es conmensurable con 2Ï, es decir, si la razĂłn α/2Ï es un nĂșmero racional, entonces la trayectoria es periĂłdica. Si α/2Ï es irracional, la trayectoria correspondiente es no periĂłdica. En efecto, supongamos que α y 2Ï son conmensurables, es decir, que α = (m/n)2Ï, donde m y n son enteros. Entonces nα = 2mÏ, y si se hace una rotaciĂłn con un ĂĄngulo nα, se deja fijo cada pun...