Die Finite-Elemente-Methode für Anfänger

Herbert Goering, Lutz Tobiska, Hans-Görg Roos

• Verlag: Wiley-VCH
• Jahr: 2012
• ISBN:
  9783527660001
• Auflage: 4
• Thema: Mathematik
• Thema: Angewandte Mathematik

Die Finite-Elemente-Methode ist eine grundlegende mathematische Technik zur Behandlung von Differentialgleichungs- und Variationsproblemen, die in Physik und Mechanik, im Bau- und Ingenieurwesen sowie in Elektrotechnik und Mechatronik auftreten. Das vorliegende Buch ist die vierte Auflage des bewïhrten Standardwerks der drei Autoren. Es ist speziell für Naturwissenschaftler und Ingenieure geeignet, die die mathematischen Grundlagen der Methode kennenlernen wollen. Das Lehrbuch wurde grändlich überarbeitet, zudem u.a. durch Hinweise auf unstetige Galerkin-Methoden und verschiedene Varianten von a posteriori Fehlerabschätzungen sowie Literatur- und Softwareverweise auf den aktuellen Stand gebracht.

Kapitel 1

Einführung

1.1 Allgemeines zur Methode der finiten Elemente

Die Methode der finiten Elemente (FEM) ist eines der praktisch wichtigsten Näherungsverfahren zur Lösung von Variationsproblemen, Differentialgleichungen und Variationsungleichungen in den Ingenieurwissenschaften und der mathematischen Physik. Die Erfolge der FEM, insbesondere in der Festkörpermechanik, führten zu einer verstärkten Nutzung in der Thermodynamik, in der Strömungsmechanik und in anderen Gebieten. Die Leistungsfähigkeit der Methode liegt darin begründet, dass die FEM die Vorteile besitzt, systematische Regeln für die Erzeugung stabiler numerischer Schemata bereitzustellen, und es relativ einfach ist, kompliziertere zwei- und dreidimensionale Geometrien zu berücksichtigen.

Ursprünglich wurde die Methode in den fünfziger Jahren von Ingenieuren entwickelt, um große Systeme von Flugzeugbauteilen untersuchen zu können. Erst später entdeckte man die enge Verbindung der FEM mit dem bekannten Ritzschen Verfahren und eine Arbeit von Courant hierzu aus dem Jahre 1943. Die ersten mathematisch fundierten Untersuchungen stammen von K.O. Friedrichs (1962) und L.A. Oganesjan (1966), in den darauffolgenden Jahren schuf man eine breite mathematische Theorie der Methode. Zur raschen Verbreitung der FEM trug wesentlich die Monographie von Zienkiewicz (1967) bei. Heute existiert eine Vielzahl von Büchern, die sich den unterschiedlichen Aspekten der FEM – Theorie, Anwendung und Implementierung – widmen, erwähnt seien nur [11, 13, 19, 33, 57].

Wir nehmen an, dass ein gegebenes stationäres technisches Problem durch ein Variationsprinzip oder ein Randwertproblem für eine Differentialgleichung beschrieben werde. Bei der Methode der finiten Elemente wird das z.B. zweidimensionale zugrunde liegende Gebiet in einfache Teilgebiete zerlegt, etwa in Dreiecke, Vierecke usw. Die FEM erzeugt dann ein Gleichungssystem für Näherungswerte der unbekannten Funktion in ausgezeichneten Punkten der Teilgebiete. Nach dem Lösen des Gleichungssystems sind die Werte der Unbekannten in den ausgezeichneten Punkten näherungsweise bekannt.

Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten der Erzeugung des Gleichungssystems (des diskreten Problems), ausgehend von einem Variationsprinzip oder einem Rand- wertproblem (s. Abb. 1.1). Einen weiteren Weg, die diskrete Modellierung, möchten wir lediglich erwähnen.

Abbildung 1.1 Verschiedene Varianten zur Erzeugung des diskreten Problems.

Das Ritzsche Verfahren stellt beim Vorliegen eines Variationsprinzips den einfachsten Weg zum diskreten Problem dar. Es gibt jedoch für ingenieurtechnische Probleme oft kein Variationsprinzip. Dies hängt eng damit zusammen, dass die Lösung eines Randwertproblems nur dann auch Lösung eines zugeordneten Variationsproblems ist, wenn der entsprechende Differentialoperator symmetrisch ist. Deshalb gehen wir in diesem Buch ab Kapitel 2 stets so vor, dass wir als Ausgangspunkt eine Variationsgleichung wählen, dann ist nämlich die Erzeugung des diskreten Problems ebenfalls einfach. Im Abschnitt 1.2 demonstrieren wir an typischen Beispielen, wie man ausgehend von einem Variationsprinzip oder einem Randwertproblem die zugeordnete Variationsgleichung gewinnt. In Abschnitt 1.2 findet man eine Übersicht von Randwertproblemen zweiter Ordnung und den zugeordneten Variationsgleichungen.

Wir erläutern nun noch den Begriff Variationsgleichung. Sei V eine gegebene Menge von Funktionen mit der Eigenschaft, dass aus v₁ ∈ V, v₂ ∈ V folgt β₁v₁ + β₂v₂ ∈ V für reelle β₁, β₂ (man sagt, V ist eine lineare Menge). Als Beispiel halten wir uns die Menge der in einem Gebiet Ω stetig differenzierbaren Funktionen vor Augen. Dann heißt f(v) mit v ∈ V Linearform auf V, wenn f(v) reell ist sowie

(1.1)

und

(1.2)

gelten. Ein Beispiel einer Linearform ist etwa

ein zweites

mit einer beliebig gewählten, festen stetigen Funktion g.

Aus den Eigenschaften (1.1) und (1.2) einer Linearform folgt für beliebige reelle α₁, α₂ unmittelbar

(1.3)

Wird jeweils zwei Funktionen u, v ∈ V eine reelle Zahl a(u, v) zugeordnet, so heißt diese Abbildung Bilinearform auf V, wenn sie für jedes feste u und für jedes feste v eine Linearform in der anderen Variablen ist.

Sei Ω ein zweidimensionales Gebiet in der x-y-Ebene. Dann sind Beispiele von Bilinearformen

im letzten Beispiel sind g₁ und g₂ beliebig gewählte, feste stetige Funktionen.

Die Eigenschaften von Linearformen übertragen sich auf Bilinearformen, so gilt

(1.4)

In einer symmetrischen Bilinearform kann man u und v vertauschen, sie ist also gekennzeichnet durch a(u, v) = a(v, u). Von den drei Beispielen sind die ersten beiden Bilinearformen symmetrisch, die dritte ist es nicht.

Wir nennen nun ein Problem der folgenden Form Variationsgleichung.

(1.5)

Wir bezeichnen den Rand eines beschränkt...

Inhaltsverzeichnis

• Cover
• Series Page
• Title Page
• Copyright
• Vorwort
• Kapitel 1: Einführung
• Kapitel 2: Grundkonzept
• Kapitel 3: Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen
• Kapitel 4: Konvergenzaussagen
• Kapitel 5: Numerische Integration
• Kapitel 6: Randapproximation. Isoparametrische Elemente
• Kapitel 7: Gemischte Verfahren
• Kapitel 8: Nichtkonforme FEM
• Kapitel 9: Nichtstationäre (parabolische) Aufgaben
• Kapitel 10: Gittergenerierung und Gittersteuerung
• Anhang A: Hinweise auf Software und ein Beispiel
• Literaturnachweis
• Index