Stahlbau

Teil 2 - Stabilität und Theorie II. Ordnung

Rolf Kindmann

• Verlag: Ernst & Sohn
• Jahr: 2012
• ISBN:
  9783433601723
• Auflage: 4
• Thema: Technik & Maschinenbau
• Thema: Bauingenieurwesen

The central themes are structural stability, the determination of loading according to 2nd order theory and the verification of load-bearing capacity. The actual load-bearing behaviour is explained, suitable verification procedures are recommended and illustrated with examples.

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Einleitung und Übersicht

1.1 Einführung

Die Stabilitätsfälle Biegeknicken, Biegedrillknicken und Plattenbeulen werden durch Druckbeanspruchungen verursacht. Hinzu kommt beim Biegedrillknicken ein exzentrischer Lastangriff, der die Stabilitätsgefahr erhöht, und beim Plattenbeulen ein Stabilitätsverlust infolge von Schubspannungen.

Bild 1.1 Zeigestock unter Zugbeanspruchung (links) und Druckbeanspruchung (rechts)

Mit einem kleinen Experiment lässt sich anschaulich nachweisen, dass Druckbeanspruchungen wesentlich kritischer als Zugbeanspruchungen sind. Man benötigt nur einen normalen Zeigestock, der jedoch wie allgemein üblich dünn und schlank sein sollte. Aus welchem Werkstoff er besteht, ist in diesem Zusammenhang zweitrangig. In Bild 1.1 links zieht Herr Vette mit beiden Händen an den Enden des Zeigestocks. Trotz größter Anstrengungen gelingt es ihm nicht, den Zeigestock sichtbar zu verlängern. Wenn er dagegen, wie in Bild 1.1 rechts, den Zeigestock gegen die Wand drückt, hat er offensichtlich keine Mühe, Verformungen zu erzeugen. Es soll nicht unerwähnt bleiben, dass man dem Zeigestock eine kleine Auslenkung geben muss, sofern er ideal gerade ist. Alternativ dazu kann man einen etwas krummen, d. h. „imperfekten“, Zeigestock verwenden. Damit sind die zentralen Themen des Buches bereits weitgehend angerissen: Die Stabilitätsfälle und die Berechnung von Verformungen und Beanspruchungen nach Theorie II. Ordnung unter der Berücksichtigung von Imperfektionen.

Das sind natürlich keine neuen Themen, schließlich hat die klassische Stabilitätstheorie schon eine lange Tradition! Was neu ist, betrifft die Berechnungsmethoden und die Denkweise, die sich in den letzten 10 bis 15 Jahren verändert hat und die in der Lehre und den Lehrbüchern entsprechend vermittelt werden muss. Bild 1.2 zeigt die Unterschiede. Beim Fall a, der klassischen Stabilitätstheorie, geht man von einem ideal geraden Druckstab aus und nimmt an, dass die Kraft genau mittig eingeleitet wird. Mit Aufbringen und Erhöhen der Last wird der Stab zusammengedrückt und bleibt, da er sich im stabilen Gleichgewicht befindet, zunächst gerade. Bei N = N_Ki, der Verzweigungslast, tritt indifferentes Gleichgewicht auf und der Stab ist unschlüssig, ob er gerade bleiben oder ausknicken soll. Fachlich präziser ausgedrückt nennt man den Übergang zum labilen Gleichgewicht „indifferentes Gleichgewicht“und spricht auch von der „Verzweigung des Gleichgewichts“. So weit die klassische Stabilitätstheorie!

Bild 1.2 Stabilität und Tragfähigkeit eines Druckstabes

Mittlerweile hat sich die Denkweise geändert und man geht wie im Fall b von einem imperfekten (vorgekrümmten) Druckstab aus. Dabei ergibt sich die dargestellte nichtlineare Last-Verformungs-Beziehung und der Druckstab weist von Anfang an gewisse Auslenkungen auf. Sofern die Imperfektion klein ist und man unbegrenzt elastisches Tragverhalten voraussetzt, nähert sich die Kurve asymptotisch der horizontalen Gerade durch N_Ki. Darüber hinaus zeigt die Kurve, dass die Auslenkungen mit wachsendem N überproportional größer werden, was auch für die Biegemomente und Querkräfte gilt.

Da der Werkstoff nicht unbegrenzt elastisch ist, wird die maximale Normalkraft erreicht, wenn in Feldmitte infolge N und M ein Fließgelenk entsteht. Bei dieser Vorgehensweise müssen mit der Vorverformung w₀ ersatzweise alle Imperfektionen und Berechnungsvereinfachungen erfasst werden, die im Hinblick auf die Tragfähigkeit von Bedeutung sind. Natürlich gilt dies auch für den Fall, dass man vom Stabilitätsproblem, d. h. von N_Ki, ausgeht und max N = κ · N_pl,d mit Hilfe von Abminderungsfaktoren bestimmt, s. auch Abschnitt 2.4.

Die Veränderung der Denkweise steht in engem Zusammenhang mit den alten und neuen Nachweismethoden. Früher, d. h. nach der alten Stabilitätsnorm DIN 4114 [17], hat man den Stabilitätsnachweis fast immer mit der Bedingung

(1.1)

geführt und für die Ermittlung der Knickzahlen ω wurde die Knicklänge, die sich aus der Verzweigungslast ergibt, verwendet. Natürlich waren in den Knickzahlen ω die Einflüsse von Imperfektionen und infolge Theorie II. Ordnung enthalten. Dies war jedoch nicht in den Köpfen der Ingenieure verankert, sodass viele bei Einführung der DIN 18800 [9] glaubten, dass die Theorie II. Ordnung eine Erfindung der Normenmacher sei. Ein zu Gl. (1.1) vergleichbarer Nachweis ist mit

(1.2)

auch in DIN 18800 Teil 2 enthalten. Der Unterschied zu früher besteht darin, dass heutzutage alle in der Praxis tätigen Ingenieure wissen, was die Abminderungsfaktoren κ (vergleichbar mit 1/ω) abdecken. Darüber hinaus werden mittlerweile häufig Nachweise geführt, bei denen die Berechnungen nach Theorie II. Ordnung unmittelbar erkennbar sind.

Mit einer über 30jährigen Erfahrung im Stahlbau hat der Verfasser sowohl die alte als auch die neue Stabilitätsnorm häufig verwendet und hat darüber hinaus an der Erstellung von DIN 18800 Teil 2 als Mitglied des Normenausschusses mitgewirkt. Man sollte sich stets bewusst sein, das Normen kein Lehrbuchwissen vermitteln und man ist daher diesbezüglich auf gute Lehrbücher angewiesen. In diesem Zusammenhang hat der Autor zahlreiche Lehrbücher und Veröffentlichungen herangezogen und damit das entsprechende Wissen erarbeitet. Einige Bücher hatten eine außergewöhnliche Bedeutung und sollen aufgrund der besonderen Wertschätzung nachfolgend genannt werden:

• Pflüger: Stabilitätsprobleme der Elastostatik [69]
• Roik/Carl/Lindner: Biegetorsionsprobleme gerader dünnwandiger Stäbe [72]
• Roik: Vorlesungen über Stahlbau [77]
• Wlassow: Dünnwandige elastische Stäbe [92]
• Bürgermeister/Steup/Kretschmar: Stabilitätstheorie [6]
• Petersen: Stahlbau [67], Statik und Stabilität der Baukonstruktionen [68]

1.2 Grundsätzliches

Zentrales Thema des vorliegenden Buches ist die Stabilität und Theorie II. Ordnung von Stabtragwerken. Da dabei auf der linearen Stabtheorie aufgebaut wird, sind einige grundlegende Erläuterungen zu den üblichen Annahmen, Methoden und Vorgehensweisen sowie Hinweise zu grundlegenden Aspekten der Stabilität und Theorie II. Ordnung sinnvoll.

Bild 1.3 Stabquerschnitt im Koordinatensystem mit Verschiebungsund Schnittgrößen

Stäbe werden in einem x-y-z-Koordinatensystem gemäß Bild 1.3 beschrieben, bei dem die x-Achse die Stabachse ist. Sie verläuft durch den Schwerpunkt S und y undz sind die Hauptachsen des Querschnitts. In diesem Koordinatensystem wird auch der Schubmittelpunkt M(y_M, z_M) angegeben. Bild 1.3 zeigt beispielhaft einen Sonderfall mit y_M ≠ 0 und z_M = 0...

Inhaltsverzeichnis

• Cover Page
• Title Page
• Copyright
• Vorwort
• 1: Einleitung und Übersicht
• 2: Tragverhalten, Berechnungs- und Nachweisverfahren
• 3: Nachweise für das Biegeknicken mit Abminderungsfaktoren
• 4: Stabilitätsproblem Biegeknicken
• 5: Nachweise für das Biegedrillknicken mit Abminderungsfaktoren
• 6: Stabilitätsproblem Biegedrillknicken
• 7: Nachweise unter Ansatz von Ersatzimperfektionen
• 8: Theorie II. Ordnung für Biegung mit Normalkraft
• 9: Theorie II. Ordnung für beliebige Beanspruchungen
• 10: Aussteifung und Stabilisierung
• 11: Stabilitätsproblem Plattenbeulen und Beulnachweise
• Literaturverzeichnis
• Sachverzeichnis