Handbuch der Mathematik

L. Kuipers, R. Timman, Anneliese Oberschelp, L. Kuipers, R. Timman

• Verlag: De Gruyter
• Jahr: 2015
• ISBN:
  9783110836684
• Auflage: 1
• Thema: Mathematik
• Thema: Mathematik Allgemein

Inhaltsverzeichnis

• Vorwort
• I. Aus der Geschichte der Mathematik
• 1. Die ersten Zahlen
• 2. Fortsetzung der Zahlenfolge
• 3. Das Unendliche
• 4. Das Irrationale
• 5. Das unendlich Kleine
• 6. Die Entwicklung der Analysis
• 7. Die moderne Zeit
• II. Zahlensysteme
• 1. Die natürlichen Zahlen
• 2. Die ganzen Zahlen
• 3. Die rationalen Zahlen
• 4. Die reellen Zahlen
• 5. Die komplexen Zahlen
• III. Lineare Algebra
• 1. Vektoren, Vektorräume
• 2. Lineare Abhängigkeit, Dimension, Basis
• 3. Teilräume oder Untervektorräume
• 4. Das Skalarprodukt
• 5. Lineare Transformationen, Matrizen
• 6. Verknüpfung linearer Transformationen
• 7. Multiplikation von Matrizen
• 8. Spalten-und Zeilenmatrizen
• 9. Rang einer Matrix
• 10. Determinanten
• 11. Lösungen nicht-homogener Gleichungssysteme
• 12. Losungen homogener Gleichungssysteme
• 13. Eigenwerte
• 14. Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer (reeller) Matrizen
• 15. Hauptachsentransformation symmetrischer Matrizen
• IV. Analytische Geometrie
• 1. Koordinaten
• 1.1. Koordinaten auf einer Geraden
• 1.2. Koordinaten für Halbgeraden durch einen Punkt 0
• 1.3. Polarkoordinaten
• 1.4. Rechtwinklige Koordinaten in der Ebene
• 1.5. Rechtwinklige Koordinaten im Raum
• 1.6. Polarkoordinaten im Raum
• 1.7. Zylinderkoordinaten
• 1.8. Parameter
• 1.9. Die Vektormethode
• 2. Analytische Geometrie der Geraden und der Ebene
• 2.1. Gleichung der Ebene
• 2.2. Parameterdarstellung einer Ebene
• 2.3. Gleichung einer Geraden im Raum
• 2.4. Gleichung einer Geraden in der Ebene
• 2.5. Hessesche Normalform der Geraden in der Ebene
• 2.6. Achsenabschnittsgleichung einer Geraden
• 2.7. Allgemeine Geradengleichung
• 2.8. Die Schnittgerade zweier Ebenen
• 2.9. Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene
• 2.10. Lotgerade auf eine Ebene V von einem Punkt P aus
• 2.11. Gemeinsames Lot zweier Geraden l und m
• 3. Homogene Koordinaten
• 3.1. Teilungsverhältnis; harmonische Lage
• 3.2. Homogene Koordinaten in der Ebene
• 3.3. Homogene Koordinaten im Raum
• 4. Kreis und Kugel
• 4.1. Die Gleichungen des Kreises und der Kugel
• 4.2. Büschel und Bündel
• 5. Kegelschnitte
• 5.1. Die Gleichungen der Ellipse, der Hyperbel und der Parabel
• 5.2. Tangenten, Normalen und Winkelhalbierende
• 6. Kurven zweiter Ordnung
• 7. Pol und Polare
• 8. Flächen zweiter Ordnung
• 9. Diskussion der allgemeinen Gleichung einer Fläche 2. Ordnung
• 9.1. Herleitung der Normalformen der Gleichung
• 9.2. Bestimmung eines eventuellen Mittelpunktes
• 10. Polarentheorie für Flächen 2. Ordnung
• V. Analysis
• DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG EINER VERÄNDERLICHEN
• 1. Funktion — Intervall — Umgebung
• 2. Der Grenzwertbegriff
• 3. Das Rechnen mit Limiten
• 4. Stetigkeit
• 5. Rechenregeln für stetige Funktionen — Beispiele stetiger Funktionen
• 6. Der Differentialquotient
• 7. Die abgeleitete Funktion — Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit — Höhere Ableitungen
• 8. Differentationsregeln
• 9. Der Begriff der Bogenlänge auf einem Kreis — Stetigkeit der trigonometrischen Funktionen — Goniometrische Ungleichungen
• 10. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen
• 11. Grenzwerteigenschaften ineinandergesetzter Funktionen
• 12. Differentiation einer ineinandergesetzten Funktion — Kettenregel
• 13. Der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz
• 14. Der erweiterte oder zweite Mittelwertsatz
• 15. Extremwerte
• 16. Wendepunkte
• 17. Stammfunktionen
• 18. Einführung neuer Veränderlicher — Differentiale — Partielle Integration
• 19. Flächeninhalt
• 20. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
• 21. Eigenschaften des bestimmten Integrals
• 22. Bestimmtes Integral und Stammfunktion
• 23. Der Zwischenwertsatz
• 24. Die Logarithmusfunktion
• 25. Umkehrfunktionen
• 26. Die Exponentialfunktion
• 27. Allgemeine Potenz- und Exponentialfunktionen
• 28. Einige logarithmische und exponentielle Limiten
• 29. Die allgemeine Logarithmusfunktion
• 30. Die zyklometrischen Funktionen
• 31. Die Regel von Leibniz
• 32. Die hyperbolischen Funktionen
• 33. Die Stammfunktionen rationaler Funktionen — Partialbruchentwicklung
• 34. Die Stammfunktionen von cosnx und sinnx (n ganz)
• 35. Die Stammfunktionen einer rationalen Funktion in sin x und cos x
• 36. Die Stammfunktionen irrationaler algebraischer Funktionen
• 37. Uneigentliche Integrale
• FUNKTIONEN VON ZWEI VERÄNDERLICHEN — PARTIELLE DIFFERENTIATION
• 38. Der Funktionsbegriff
• 39. Der Grenzwertbegriff
• 40. Stetigkeit
• 41. Partielle Differentiation
• 42. Partielle Ableitungen zweiter Ordnung
• 43. Ineinandergesetzte Funktionen — Totales Differential
• 44. Einführung neuer Veränderlicher
• 45. Funktionen von mehr als zwei Veränderlichen
• 46. Extrema von Funktionen zweier Veränderlicher
• 47. Die Taylorentwicklung für eine Funktion von zwei Veränderlichen — Mittelwertsatz
• 48. Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema von Funktionen zweier Veränderlicher
• MEHRFACHE INTEGRALE
• 49. Inhaltsbegriff—Integral
• 50. Eigenschaften der Integrale
• 51. Iterierte Integrale mit konstanten Grenzen
• 52. Krummlinig begrenztes Integrationsgebiet
• 53. Krummlinige Koordinaten
• 54. Transformationsformel für Doppelintegrale
• 55. Zylinderkoordinaten
• 56. Dreifache Integrale
• 57. Kugelkoordinaten
• 58. Der Flächeninhalt einer ebenen Figur in Polarkoordinaten
• 59. Der Inhalt von Rotationskörpern
• 60. Flächeninhalt einer gekrümmten Flache in rechtwinkligen Koordinaten
• 61. Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche in Zylinder- und Kugelkoordinaten
• 62. Flächeninhalt der Oberfläche von Rotationskörpern
• 63. Masse und Dichte von Flächen und Körpern
• 64. Statisches Moment, Schwerpunkt, Trägheitsmoment
• VI. Zahlenfolgen und Reihen
• 1. Zahlenfolgen
• 2. Konvergenz
• 3. Divergenz
• 4. Berechnung von Grenzwerten
• 5. Monotone Folgen
• 6. Das Cauchy’sche Konvergenzkriterium
• 7. Unendliche Reihen
• 7.1. Konvergenz und Divergenz von Reihen
• 7.2. Vergleichsreihen
• 7.3. Konvergenzkriterien
• 7.3.1. Integralkriterium
• 7.3.2. Das Kriterium von Cauchy (Wurzelkriterium)
• 7.3.3. Das Kriterium von d’Alembert (Quotientenkriterium)
• 7.3.4. Das Kriterium von Raabe
• 7.4. Reihen mit positiven und negativen Gliedern
• 7.5. Alternierende Reihen
• 7.6. Potenzreihen
• 7.7. Taylorreihen
• 8. Gleichmäßige Konvergenz
• 9. Fourierreihen
• 9.1. Entwicklung einer Funktion in eine Fourierreihe
• 9.2. Integration von Fourierreihen
• 9.3. Das Fourierintegral
• VII. Funktionentheorie
• 1. Komplexe Zahlen
• 1.1. Grundeigenschaften
• 1.2. Geometrische Interpretation
• 1.3. Grenzwerteigenschaften
• 1.4. Punktmengen in der komplexen Ebene
• 2. Funktionen
• 2.1. Grundeigenschaften; Stetigkeit
• 2.2. Differenzierbarkeit
• 2.3. Integrierbarkeit
• 3. Integralsätze
• 3.1. Der Cauchy’sche Integralsatz
• 3.2. Der Residuensatz
• 3.3. Cauchysche Integraldarstellung für f und für die Ableitungen
• 3.4. Anwendungen des Residuensatzes
• 4. Reihen
• 4.1. Grundeigenschaften
• 4.2. Reihen von Funktionen
• 4.3. Potenzreihen
• 4.4. Analytische Fortsetzung
• 4.5. Das Maximumprinzip
• 5. Singularitäten
• 5.1. Laurent-Reihen
• 5.2. Klassifikation holomorpher Funktionen
• 5.3. Isolierte Singularitäten
• 5.4. Der unendlich ferne Punkt
• 5.5. Weitere Anwendungen des Residuensatzes
• 5.6. Die Umkehrung einer holomorphen Funktion
• 6. Konforme Abbildungen
• 6.1. Grundeigenschaften
• 6.2. Anwendungen konformer Abbildungen
• 6.3. Die linearen Transformationen
• 6.4. Einige weitere Transformationen
• 7. Unendliche Produkte
• VIII. Gewöhnliche Differentialgleichungen
• 1. Einleitung
• 1.1. Definition
• 1.2. Klassifikation
• 2. Differentialgleichungen erster Ordnung
• 2.1. Elementare Integrationsmethoden
• 2.2. Trennung der Veränderlichen
• 2.3 Homogene Gleichungen
• 3. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
• 3.1. Beispiele elektrischer Stromkreise mit induktivem Widerstand
• 3.2. Verallgemeinerung — Differentialgleichung von Bemoulli
• 3.3. Einführung neuer Veränderlicher — Jacobi’sche Gleichung
• 4. Einige Bemerkungen zur Theorie
• 4.1. Allgemeine Bemerkungen
• 4.2. Richtungsfeld — Integralkurven — Isoklinen
• 4.3. Existenzbeweis der Lösungen von y’ = f (x,y)
• 5. Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
• 5.1. Allgemeine Form
• 5.2. Homogene Gleichungen—allgemeine Eigenschaften des Operators Ln(y)
• 5.3. Lineare Unabhängigkeit von Funktionen
• 5.4. Kriterium für die lineare Unabhängigkeit eines Funktionensystems — Wronski’sche Determinante
• 5.5. Linear imabhängige Lösungen einer homogenen Differentialgleichung — Hauptlösungen — Allgemeine Lösung
• 6. Homogene Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
• 6.1. Charakteristische Gleichung
• 6.2. Der Fall, daß die charakteristische Gleichung lauter verschiedene Lösungen hat
• 6.3. Konjugiert komplexe Lösungen der charakteristischen Gleichung
• 6.4. Beispiel einer gedämpften harmonischen Schwingung
• 6.5. Mehrfache Lösungen der charakteristischen Gleichung
• 6.6. Eulersche Differentialgleichungen
• 7. Nicht-homogene Differentialgleichungen
• 7.1. Lösung nicht-homogener Differentialgleichungen
• 7.2. Einfache Bestimmung einer partikulären Lösung spezieller nicht-homogener linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
• 7.3. Die Methode der Variation der Konstanten
• 7.4. Beispiel der erzwungenen gedampften elastischen Schwingungen
• 8. Nicht-lineare Differentialgleichungen
• 8.1. Vorbemerkungen
• 8.2. Lösung durch Transformation — Spezialfall der Riccati’schen Gleichung
• 8.3. Wichtige Beispiele nicht-linearer Differentialgleichungen
• 9. Systeme simultaner Differentialgleichungen
• 9.1. Vorbemerkungen
• 9.2. Simultane Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
• 9.3. Simultane Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten
• 9.4. Nicht-lineare Systeme
• IX. Spezielle Funktionen
• 1. Gamma-Funktion und Beta-Funktion
• 1.1. Die Gamma-Funktion (Γ-Funktion)
• 1.2. Analytische Fortsetzung der Gamma-Funktion
• 1.3. Die B-Funktion oder Beta-Funktion B(z, w)
• 1.4. Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion
• 1.5. Die Legendre’sche Relation
• 2. Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit veränderlichen Koeffizienten
• 2.1. Vorbemerkungen
• 2.2. Stellen der Bestimmtheit
• 2.3. Formale Lösung von (2.1; 1) in der Form einer Potenzreihe
• 2.4. Bestimmung des Konvergenzkreises der gefundenen Potenzreihe
• 2.5. Diskussion des bisher ausgeschlossenen Falles ?1—?2 = m (m ganz, einschließlich 0) — Methode von Frobenius
• 2.6. Der Punkt z = ∞
• 2.7. Nachträgliche Betrachtung
• 2.8. Lösungen in einer Umgebung eines gewöhnlichen Punktes
• 3. Hypergeometrische Funktionen
• 3.1. Die Gauß’sche Differentialgleichung
• 3.2. Allgemeine Lösung der Gauß’schen Differentialgleichung in einer Umgebung von z = 0 — Hypergeometrische Reihen
• 3.3. Spezialfälle der hypergeometrischen Reihe
• 3.4. Integraldarstellung der hypergeometrischen Reihe
• 3.5. Die Summe der hypergeometrischen Reihe an der Stelle z = 1
• 3.6. Fundamentalsystem in einer Umgebung von z = 1
• 3.7. Fundamentalsystem in einer Umgebung von z = ∞
• 3.8. Die Riemannsche P-Funktion
• 3.9. Weitere Darstellungen hypergeometrischer Reihen
• 3.10. Analytische Fortsetzung von F(a,b; c;z)
• 3.11. Lineare Beziehungen zwischen den verschiedenen Lösungen der hypergeometrischen Differentialgleichung
• 3.12. Schlußbemerkung
• 4. Legendre’sche Funktionen
• 4.1. Die Legrendre’sche Differentialgleichung
• 4.2. Lösungen der Legendre’schen Differentialgleichung in einer Umgebung von u = ∞
• 4.3. Legendre’sche Polynome (Kugelfunktionen erster Art)
• 4.4. Einfache Darstellung von Rodrigues für Pn(u)
• 4.5. Integraldarstellungen von Schläfli und Laplace
• 4.6. Orthogonalitätseigenschaften der Pn(u)
• 4.7. Die erzeugende Funktion der Pn(u)
• 4.8. Rekursive Beziehungen für die Pn(u) und P’n(u)
• 4.9. Weitere Eigenschaften der Pn(u)
• 4.10. Die zweite Hauptlösung der Legendre’schen Differentialgleichung in einer Umgebung von u = ∞
• 4.11. Das Neumann’sche Integral für Qn(u)
• 4.12. Endliche Entwicklung von Qn(z) für ganze nicht-negative n
• 4.13. Zugeordnete Legendre’sche Funktionen
• 5. Besselfunktionen
• 5.1. Die Besselsche Differentialgleichung
• 5.2. Lösungen in einer Umgebung von z = 0 — Besselfunktionen
• 5.3. Betrachtung der bisher ausgeschlossenen Falle (2 p = ganz)
• 5.4. Die Wronskische Determinante
• 5.5. Die erzeugende Funktion für Jn(z) (n ganz)
• 5.6. Rekursionsformel für Jn(z)
• 5.7. Integraldarstellungen der Besselschen Funktionen
• 5.8. Die zweite Lösung der Besse!’sehen Gleichung für den Fall, daß die Ordnung eine ganze Zahl ist
• 5.9. Hankel’sche Funktionen (Besselfunktionen dritter Art)
• 5.10. Lösung der Bessel’schen Gleichung mit Hilfe von Laplace-Transformationen
• 5.11. Erstes Hankel’sches Schleifenintegral
• 5.12. Zweites Hankel’sches Schleifenintegral
• 5.13. Natürliche Entstehungsweise der Hankel’schen Funktionen
• 5.14. Asymptotische Entwicklung der Hankel’schen und Bessel’schen Funktionen
• 5.15. Eine Bemerkung über die Nullstellen von Jp(z)
• 5.16. Die Lommelschen Transformationen
• 5.17. Praktische Anwendung — Schrödingergleichung (eindimensional)
• 6. Kugelfunktionen
• 6.1. Entwicklung nach Kugelfunktionen
• 6.2. Übergang zu räumlichen Polarkoordinaten
• 6.3. Herleitung von Hilfsgleichungen
• 6.4. Lösung mit Hilfe von Legendre’schen Funktionen
• 6.5. Vereinfachungen, die in der Praxis auftreten
• 6.6. Bestimmung der Konstanten aus den Randbedingungen — Inneres und äußeres Problem
• 6.7. Die noch verbleibende Rechnung zum inneren Problem
• 6.8. Beispiel eines inneren Problems
• X. Vektoranalysis
• VEKTOREN IM RAUM
• 1. Vektoren im dreidimensionalen Raum
• 1.1. Einleitung
• 1.2. Eigenschaften des Vektorprodukts
• 1.3. Das Spatprodukt und das dreifache Vektorprodukt
• 1.4. Einige Anwendungen auf die räumliche Geometrie
• 2. Anwendungen auf die Differentialgeometrie
• 2.1. Raumkurven
• 2.2. Darstellung einer Rotationsbewegung durch einen Vektor
• 2.3. Flächentheorie
• 2.3.1. Die erste Grundform einer Fläche
• 2.3.2. Die zweite Grundform
• 2.3.3. Krümmungseigenschaften
• 2.3.4. Spezielle Kurven auf Flächen
• THEORIE DER VORFELDER
• 3. Der Differentialoperator V
• 3.1. Der Gradient einer skalaren Funktion
• 3.2. Die Divergenz eines Vektorfeldes
• 3.3. Die Rotation eines Vektorfeldes
• 3.4. Der Operator V
• 3.5. Gradient, Divergenz und Rotation in krummlinigen Koordinaten
• 4. Integralsätze
• 4.1. Der Satz von Gauß
• 4.2. Der Satz von Stokes
• 4.3. Die Sätze von Green
• 4.4. Rotationsfreie Vektorfelder
• 4.5. Die Bewegungsgleichungen der Hydrodynamik
• POTENTIALE VON MASSENBELEGUNGEN
• 5. Pole und Dipole
• 6. Linien- und Flächenbelegungen
• 7. Räumliche Belegungen
• DYADEN UND TENSOREN
• 8. Dyaden
• 9. Der Deformationstensor
• 10. Der Satz von Gauß für eine Dyade
• 11. Der Spannungstensor
• XI. Partielle Differentialgleichungen
• 1. Gleichungen erster Ordnung
• 1.1. Einleitung
• 1.2. Quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung
• 1.3. Die allgemeine partielle Differentialgleichung erster Ordnung
• 1.4. Die Theorie von Hamilton—Jacobi
• 2. Systeme quasilinearer hyperbolischer Gleichungen erster Ordnung
• 2.1. Definition der Charakteristiken
• 2.2. Die Gleichung der schwingenden Seite
• 2.3. Das Cauchy’sche Problem für ein hyperbolisches System
• 2.4. Anwendungen auf die Strömungslehre
• 3. Lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten
• 3.1. Die Potentialgleichung
• 3.2. Der Satz von Green
• 3.3. Green’sche Funktionen
• 3.4. Die Helmholtz’sche Gleichung
• 3.5. Der allgemeine Satz von Green
• 3.6. Die Riemann’sche Integrationsmethode für lineare hyperbolische Differentialgleichungen in zwei Variablen
• 3.7. Die Poisson’sche Formel für die Wellengleichung in drei Dimensionen
• 3.8. Die Methode von Hadamard-Riess für die Lösung des Anfangsproblems
• 4. Approximationsmethoden bei elliptischen Differentialgleichungen
• 4.1. Zusammenhang zwischen Lösungen elliptischer Differentialgleichungen und Lösungen von Variationsproblemen
• 4.2. Die Näherungsmethode von Ritz-Galerkin
• 4.3. Eigenwertprobleme
• XII. Numerische Analysis
• 1. Einleitung
• 1.1. Die Aufgabe der numerischen Analysis
• 1.2. Hilfsmittel beim praktischen Rechnen
• 1.3. Fehlerquellen
• 1.4. Fehlerfortpflanzung
• 1.5. Einiges über den Umgang mit Reihen
• 2. Interpolation
• 2.1. Lineare Interpolation
• 2.2. Interpolation mit geteilten Differenzen
• 2.3. Interpolation mit Differenzen; allgemeine Betrachtungen
• 2.4. Die Newton’schen Formeln mit Differenzen
• 2.5. Gaußsche Interpolationsformeln mit Zentraldifferenzen
• 2.6. Die Bedeutung der Interpolationsformeln von Newton und Gauß
• 2.7. Interpolation mit der Everett’schen Formel
• 2.8. Der Einfluß fehlerhafter Funktionswerte auf die Differenzen
• 2.9. Lagrangesche Polynome
• 2.10. Numerische Differentiation in Tabellenform gegebener Funktione
• 2.11. Numerische Integration in Tabellenform gegebener Funktionen
• 2.12. Orthogonale Polynome
• 2.13. Integration nach Gauß
• 3. Numerische Integration von Differentialgleichungen
• 3.1. Differentialgleichungen erster Ordnung
• 3.2. Das Anfangsverfahren
• 3.3. Fehler und Stabilität
• 3.4. Allgemeine Bemerkungen zu Differentialgleichungen von zweiter und höherer Ordnung
• 3.5. Ein Sonderfall der Gleichungen zweiter Ordnung: y”= F(x,y)
• 3.6. Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit Integrationsbedingungen in zwei verschiedenen Punkten
• 4. Die Bestimmung der Wurzeln einer Gleichung
• 4.1. Reelle Wurzeln; allgemeine Überlegungen
• 4.2. Die Regula falsi und die Methode von Newton-Raphson
• 4.3. Zur Frage der Konvergenz von Iterationsverfahren
• 4.4. Erhöhung der Ordnung eines Iterationsprozesses
• 4.5. Die Bestimmung komplexer Wurzeln von Gleichungen
• 4.6. Wurzeln algebraischer Gleichungen höherer Ordnung
• 4.7. Die Methode von Bernoulli zur Lösung von Gleichungen höherer Ordnung
• 4.8. Die Methode von Graeffe zur Lösung von Gleichungen höherer Ordnung
• 5. Rechnen mit linearen Systemen
• 5.1. Einleitung
• 5.2. Die Lösung linearer Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens
• 5.3. Die Croutsche Modifikation des Gauß’schen Verfahrens
• 5.4. Lösung eines Systems linearer Gleichungen mit Hilfe der inversen Matrix
• 5.5. Die Genauigkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems
• 5.6. Allgemeine Bemerkungen zu den Eigenwerten einer Matrix
• 5.7. Bestimmung der dominanten Eigenwerte mit Hilfe eines Iterationsverfahrens
• 5.8. Die Bestimmung der Eigenwerte in der Reihenfolge abnehmender Absolutbeträge
• 5.9. Funktionen von Matrizen und Eigenwerten
• 6. Approximationen durch Polynome (Fortsetzung)
• 6.1. Rechenautomaten und Funktionentafeln — Approximationen durch Polynome
• 6.2. Anpassung unter der Bedingung der kleinsten mittleren quadratischen Abweichung
• 6.3. Herabdrücken des Grades
• 7. Numerische Integration partieller Differentialgleichungen
• 7.1. Einleitung
• 7.2. Der parabolische Typ: die Wärmegleichung
• 7.3. Der hyperbolische Typ: die Wellengleichung
• 7.4. Der elliptische Typ: die Potentialgleichung
• 8. Algol 60
• 8.1. Einleitung
• 8.2. Rechnungsschema: Flußdiagramm
• 8.3. Beispiel eines Algol-Programmes
• 8.4. Weitere Beschreibung von Algol
• XIII. Laplace — Transformationen
• 1. Die Theorie der Laplace — Transformation
• 1.1. Einleitung
• 1.2. Existenz und Eigenschaften von Bildfunktionen
• 1.3. Beziehungen zwischen Original und Bildfunktion
• 1.4. Der Fourier’sche Integralsatz
• 1.5. Das Inversionstheorem für die Laplace-Transformation
• 2. Anwendungen der Laplace-Transformation
• 2.1. Lineare Differentialgleichungen
• 2.2. Lineare Differenzengleichungen
• 2.3. Integralgleichungen
• 2.4. Die δ-Funktion
• 2.5. Partielle Differentialgleichungen
• 2.6. Asymptotische Gleichungen und Entwicklungen
• 3. Fourier-Transformationen
• 3.1. Die Fourier-Transformation
• 3.2. Die Sinus- und Kosinustransformation von Fourier
• 4. Tabellen
• 4.1. Allgemeine Formeln
• 4.2. Einige bekannte Transformationen
• 5. Anhang
• XIV. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
• 1. Einleitung
• 2. Grundbegriffe und Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung
• 2.1. Ereignisraum — Ereignisse
• 2.2. Logische Operationen und Identitäten
• 2.3. Relative Häufigkeiten
• 2.4. Die Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung
• 2.5. Symmetrische Wahrscheinlichkeitsfelder — zufällige Ziehung
• 2.6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten — stochastische Unabhängigkeit
• 3. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• 3.1. Zufallsgrößen
• 3.2. Beispiele diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• 3.3. Beispiele kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• 3.4. Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• 3.5. Population und Stichprobe
• 3.6. Die zweidimensionale Normalverteilung
• 3.7. Funktionen von Zufallsgrößen
• 4. Erwartungswerte und Momente
• 4.1. Der eindimensionale Fall
• 4.2. Der mehrdimensionale Fall
• 4.3. Marginale und bedingte Erwartungswerte
• 4.4. Eigenschaften von Erwartungswerten
• 4.5. Momente
• 4.6. Anwendungen und Beispiele
• 5. Charakteristische Funktionen und Grenzwertsätze
• 5.1. Charakteristische Funktionen
• 5.2. Eigenschaften der charakteristischen Funktionen
• 5.3. Anwendungen — asymptotische Normalität
• 5.4. Stochastische Konvergenz
• 6. Die Normalverteilung
• 6.1. Approximation der Binomialverteilung durch eine Normalverteilung
• 6.2. Die Normalverteilung als Modell für praktische Aufgaben
• 6.3. Verteilungen, die man aus der Normalverteilung herleiten kann
• 7. Schätzung unbekannter Parameter
• 7.1. Problemstellung — Grundbegriffe
• 7.2. Die Methode der Maximum Likelihood von R. A. Fisher
• 7.3. Schätzen eines Erwartungswerts
• 7.4. Schätzen von Varianzwerten
• 7.5. Die Varianz von Schätzwerten
• 8. Das Testen von Hypothesen
• 8.1. Problemstellung — Grundbegriffe
• 8.2. Normale oder asymptotisch normale Testgrößen
• 8.3. Binomiale Tests
• 8.4. Hypergeometrische Tests
• 8.5. Normale Tests
• 8.6. Verteilungsfreie Tests
• 9. Vertrauensgrenzen
• 9.1. Einleitung
• 9.2. Problemstellung — Grundbegriffe
• 9.3. Vertrauensgrenzen, die aus Tests hergeleitet werden
• 9.4. Vertrauensgrenzen, die aus Schätzwerten hergeleitet werden
• 9.5. Theorie der großen Stichproben
• 10. Theorie der linearen Hypothesen
• 10.1. Einleitung
• 10.2. Lineare Modelle
• 10.3. Das Problem der Schätzungen
• 10.4. Das Problem der Tests
• 10.5. Voraussetzungen
• 11. Nicht behandelte Themen
• Literaturverzeichnis
• Sachwortverzeichnis