Die reellen Zahlen als Fundament und Baustein der Analysis

Dieter Schmersau, Wolfram Koepf

• Verlag: De Gruyter Oldenbourg
• Jahr: 2015
• ISBN:
  9783486795042
• Auflage: 1
• Thema: Mathematics
• Thema: Mathematics General

vielen Studienanfängern der Mathematik erscheint der axiomatische Aufbau der reellen Zahlen unverständlich und schwer - das muß nicht sein! Dieses Buch führt in leicht nachvollziehbaren Schritten in das Thema ein und ist daher die ideale Ergänzung zur Analysisvorlesung und bestens geeignet für ein Proseminar über reelle Zahlen. Zunächst wird eine axiomatische Charakterisierung erstellt. Mit drei verschiedenen Konstruktionen wird dann das facettenreiche Bild der reellen Zahlen entwickelt. Am Beispiel der metrischen Räume wird die Möglichkeit der Verallgemeinerung bewährter Konvergenzkonzepte aufgezeigt, wobei die Cantorkonstruktion eine wichtige Rolle spielt. Mit der ebenso vertrauten wie praktisch nützlichen Dezimaldarstellung der reellen Zahlen schließt das Buch.

Inhaltsverzeichnis

• Einleitung
• 1 Charakterisierung der reellen Zahlen
• 1.1 Äquivalenzrelationen und Gruppen
• 1.2 Ringe, Integritätsbereiche und Körper
• 1.3 Die angeordneten Körper: erste Eigenschaften
• 1.4 Folgen in angeordneten Körpern
• 1.5 Die vollständigen Körper
• 2 Konstruktion der reellen Zahlen
• 2.1 Klassische Konstruktion von Cantor
• 2.2 Die Konstruktion von Capelli
• 2.3 Die Konstruktion von P. Bachmann
• 3 Einbettung in vollständige metrische Räume
• 3.1 Metrische Räume
• 3.2 Vervollständigung metrischer Räume
• 4 Dezimaldarstellung reeller Zahlen
• 4.1 Konstruktion der Dezimaldarstellung
• 4.2 Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen
• Literatur
• Symbolverzeichnis
• Index