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Kreis und Kugel
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Inhaltsverzeichnis
- Erster Teil. Die Minimumeigenschaft des Kreises
- § 1. Das Viergelenkverfahren von Steiner
- § 2. Die Existenzfrage
- § 3. Flächeninhalt von Vielecken
- § 4. Anwendung des Viergelenkverfahrens auf Vielecke
- § 5. Existenzbeweis für Vielecke
- § 6. Gleichseitige Vielecke und trigonometrische Ausdrücke
- § 7. Bogenlänge einer Kurve
- § 8. Annäherung einer Kurve durch Vielecke
- § 9. Funktionen beschränkter Schwankung
- § 10. Flächeninhalt einer geschlossenen Kurve
- § 11. Lösung der isoperimetrischen Aufgabe in der Ebene
- § 12. Anwendungen
- § 13. Über den Integralbegriff
- § 14. Geschichtliches, Literatur
- Zweiter Teil. Die Minimumeigenschaft der Kugel
- § 15. Ein Beweisansatz Steiners
- I. Problemstellung
- II. Steiners Symmetrisierung
- III. Kritik an Steiners Beweis
- § 16. Konvexe Körper und konvexe Funktionen
- I. Konvexe Funktionen zweier Veränderlicher
- II. Festlegung eines konvexen Körpers durch Ungleichheiten
- III. Konvexe Funktionen einer Veränderlichen
- IV. Stützgeraden, Stützebenen
- V. Konvexe Hülle einer Punktmenge. Konvexe Vielflache
- VI. Die Stützfunktion
- § 17. Rauminhalt und Oberfläche
- I. Rauminhalt und Oberfläche bei Vielflachen
- II. Annäherung durch Vielflache
- III. Erklärung von Rauminhalt und Oberfläche bei beliebigen konvexen Körpern
- IV. Konvergente Folgen konvexer Körper
- V. Stetigkeitseigenschaft von Inhalt und Oberfläche
- § 18. Eine Erweiterung des Satzes von Bolzano und Weierstrass über die Existenz eines Häufungspunktes
- I. Der Auswahlsatz für konvexe Körper
- II. Das Diagonalverfahren von Cantor
- III. Konvergenz der ausgewählten Folge
- IV. Übereinstimmung mit der früheren Erklärung der Konvergenz
- V. Eine zweite Fassung des Konvergenzbegriffs
- § 19. Die Symmetrisierung von Steiner
- I. Symmetrisierung konvergenter Körperfolgen
- II. Wirkung auf Inhalt und Oberfläche
- III. Symmetrisierung der Näherungsvielflache
- IV. Anwendung eines Mittelwertsatzes von Hölder
- V. Einführung der gefundenen Abschätzung
- VI. Die Ungleichheit von H. A. Schwarz
- VII. Verkleinerung der Oberfläche
- VIII. Die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel
- § 20. Ergänzende Bemerkungen
- I. Über die Beschränkung auf konvexe Vergleichskörper
- II. Über die Existenz eines Doppelintegrals
- III. Die Begriffe „konvexer Körper“ und „konvexe Funktion“
- Dritter Teil. Ergebnisse über konvexe Körper von Schwarz, Brunn und Minkowski
- § 21. Eine Konstruktion von Schwarz und ein Satz von Brunn
- I. Konstruktion von H. A. Schwarz
- II. Konvergenzbeweis
- III. Über den Schwerpunkt
- IV. Ein Satz von H. Brunn
- V. Ein Satz von H. A. Schwarz
- § 22. Sätze von Brunn und Minkowski
- I. Lineare Scharen und konvexe Scharen konvexer Körper
- II. Symmetrisierung konvexer Scharen
- III. Beweis des Satzes von Brunn über die Rauminhalte der Körper einer linearen Schar
- IV. Symmetrisierung linearer Scharen
- V. Minkowskis Ergänzung zum Satze von Brunn
- VI. Ungleichheiten von Minkowski
- VII. Über einen zweiten Beweis für M2-4 π 0 >̳ 0
- § 23. Ergänzungen
- I. Literatur
- II. Ein Lemma von Wirtinger
- III. Anwendung
- IV. Übertragung von Wirtingers Lemma auf die Kugel
- V. Formel von Minkowski für die Oberfläche
- VI. Konvexe Funktionale
- Vierter Teil. Neue Aufgaben über Extreme bei konvexen Körpern
- § 24. Bestimmung der größten Kugel, die in einer konvexen Fläche unbehindert rollen kann
- I. Über Differentialgeometrie im großen
- II. Kleinster und größter Krümmungskreis einer konvexen Kurve
- III. Ein duales Analogon der Formel von Euler über die Flächenkrümmung
- IV. Lösung der räumlichen Frage
- § 25. Krümmungsbeschränkungen bei konvexen Flächen
- I. Problemstellung und Zurückführung auf Drehflächen
- II. Anwendung der Konstruktion von Schwarz
- III. Invarianz des Durchmessers
- IV. Ein Satz von Bieberbach
- V. Verhalten des Krümmungsmaßes bei der Symmetrisierung
- VI. Verhalten des Krümmungsmaßes beim Grenzübergang
- VII. Vorbereitungen zum Beweise für Drehflächen
- VIII. Spindelförmige Drehflächen konstanten Krümmungsmaßes
- IX. Ergebnisse
- X. Ein Satz von O. Bonnet
- § 26. Andere Krümmungsbeschränkungen
- I. Problemstellung und Zurückführung auf Drehflächen
- II. Die Versteifung
- III. Differentialgeometrie der Stützfunktion
- IV. Verhalten des Krümmungsmaßes bei der Versteifung
- V. Käseförmige Drehflächen konstanten Krümmungsmaßes
- VI. Verhalten der mittleren Krümmung beim Versteifen
- Anhang. Ausblick auf weitere Untersuchungen über konvexe Körpers
- I. Flächeninhalte der Normalrisse
- II. Umfänge der Normalrisse
- III. Minkowskis Körper konstanter Breite
- IV. Körper konstanter Helligkeit
- V. Integraldarstellung konvexer Körper mit Mittelpunkt
- VI. Formeln für Mittelpunkteiflächen
- VII. Kennzeichnung des Ellipsoids
- VIII. Mindestzahl der Scheitel einer Eilinie
- IX. Weitere Literatur zur Differentialgeometrie der Eiflächen
- Sachverzeichnis Namenverzeichnis
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