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Fehlerlehre und Ausgleichsrechnung
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Inhaltsverzeichnis
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Information
Inhaltsverzeichnis
- 1 Einführung in die Algebra der Matrizen
- 11 Definition der Matrix, Sonderformen und Bezeichnungen
- 11.1 Matrix
- 11.2 Bezeichnungen
- 11.3 Transponierte Matrix
- 11.4 Überschaubarkeit der Formeln
- 11.5 Determinante
- 11.6 Diagonale und Spur
- 11.7 Aufteilung in Spalten
- 12 Rechenregeln
- 12.1 Addition, Subtraktion
- 12.2 Multiplikation
- 12.3 Summenproben
- 12.4 Lineare Funktionen und Gleichungen
- 12.5 Zweckmäßige Anordnung der Faktoren
- 12.6 Übungen zur Multiplikation
- 13 Inversion der Matrizen
- 13.1 Definition
- 13.2 Determinantenformel
- 13.3 Einfache Inversion bei Sonderformen
- 13.4 Inversion symmetrischer Matrizen
- 13.5 Lineare Gleichungen mit nichtsymmetrischer Koeffizientenmatrix
- 13.6 Matrizeninversion durch Reihenentwicklung
- 13.7 Fehlersuche, Fehlerberichtigung
- 13.8 Wissenswertes
- 13.9 Übungen
- 14 Submatrizen
- 14.1 Erklärung
- 14.2 Vorteile bei numerischen Rechnungen
- 14.3 Übungen
- 15 Lineare Transformationen
- 15.1 Transformation als Abbildung
- 15.2 Orthogonale Transformation
- 16 Differentiation von Matrizenfunktionen
- 16.1 Differentialenvektor und totales Differential
- 16.2 Regeln zur Differentiation linearer und quadratischer Matrizenfunktionen
- 16.3 Extremwert der allgemeinen Gleichung 2. Grades
- 16.4 Übung
- 17 Rang der Matrix
- 17.1 Rangdefekt
- 17.2 Weitere Bezeichnungen
- 17.3 Rang bei Matrizenprodukten
- 17.4 Nullteiler
- 17.5 Bestimmung des Rangs einer Matrix
- 18 Positiv definite Form
- 18.1 Definition und Bezeichnungen
- 18.2 Unterscheidung eingentlich definit und semidefinit
- 18.3 Definitheit bei reell symmetrischen Produkten
- 18.4 Definitheit bei reell symmetrischen Produkten
- 18.5 Bestimmung der Definitheit
- 19 Eigenwert, Eigenvektoren
- 19.1 Das Eigenwertproblem
- 19.2 Spektralmatrix und Modalmatrix
- 19.3 Beispiel
- 19.4 Weitere Zusammenhänge
- 19.5 Beispiel
- 19.6 Übung
- 19.7 Kondition
- 19.8 Pseudoinverse
- 19.9 Idempotenz und Tripotenz
- 2 Fehlerlehre
- 21 Fehlerarten und Begriffe
- 21.1 Ungenauigkeiten
- 21.2 Elementarfehler
- 21.3 Systematische Fehler
- 21.4 Zufällige Fehler
- 21.5 Korrelierte Beobachtungen
- 21.6 Wahre Fehler und Residuen
- 22 Genauigkeitsmaße
- 22.1 Durchschnittlicher Fehler
- 22.2 Mittlerer Fehler
- 22.3 Wahrscheinlicher Fehler
- 22.4 Fehlergrenze
- 22.5 Relativer Fehler
- 22.6 Beispiel
- 23 Korrelation
- 23.1 Erklärung
- 23.2 Definitionen
- 23.3 Beispiel
- 24 Fehlerfortpflanzung
- 24.1 Lineare Funktionen. Ableitung
- 24.2 Lineare Funktionen. Beispiel
- 24.3 Nichtlineare Funktionen. Ableitung
- 24.4 Nichtlineare Funktionen. Beispiel
- 24.5 Sonderfalle beim Linearisieren
- 24.6 Linearisieren durch numerisches Differenzieren
- 24.7 Beispiel
- 25 Mittlerer Fehler
- 25.1 Berechnung aus Residuen
- 25.2 Mittlerer Fehler des einfachen Mittels
- 25.3 Beispiel
- 25.4 Mittlerer Fehler aus Doppelmessungen
- 25.5 Beispiel
- 26 Gewicht und Kofaktor
- 26.1 Gewogenes Mittel
- 26.2 Kofaktoren
- 26.3 Allgemeines Fortpflanzungsgesetz der Kofaktoren
- 26.4 Fehlerfortpflanzung in Funktionen von Funktionen
- 27 Zufallsgrößen, Dichtefunktion, Verteilungsfunktion
- 27.1 Kontinuierliche Verteilungen
- 27.2 Das GAUSSsche Fehlergesetz
- 27.3 Tabellen zur Normalverteilung
- 27.4 Beispiele zum Tabellengebrauch
- 27.5 Diskrete Verteilungen
- 27.6 Die elementaren Fehlermaße in der Normalverteilung
- 27.7 Untersuchung einer Stichprobe auf Normalverteilung
- 28 Mehrdimensionale Verteilungen
- 28.1 Das Bivariat in Normalverteilung
- 28.2 Das Multivariat in Normalverteilung
- 3 Ausgleichung direkter und vermittelnder Beobachtungen
- 31 Die Methode der kleinsten Quadrate
- 31.1 Zwei Begründungen
- 31.2 Erweiterung auf korrelierte Beobachtungen
- 32 Ausgleichung direkter Beobachtungen
- 32.1 Beobachtungsreihe für eine Unbekannte
- 32.2 Mehrfache Messung eines Vektors
- 33 Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen
- 33.1 Linearisieren der Fehlergleichungen
- 33.2 Formelableitung
- 33.3 Beispiel Höhennetz
- 34 Netzverdichtung
- 34.1 Koeffizienten in Richtungs- und Streckenfehlergleichungen
- 34.2 Aufstellen der Fehlergleichungen
- 34.3 Daten für ein Beispiel zur Netzverdichtung
- 34.4 Reduzierte Fehlergleichungen
- 34.5 Gemeinsame Ausgleichung von Richtungen und Strecken
- 34.6 Stationsausgleichungen
- 34.7 Netzverdichtung mit korrelierten Richtungssätzen
- 34.8 Genauigkeit der Punktlage
- 34.9 Helmerts Verfahren zur Netzeinpassung
- 35 Ausgleichungen mit singulärer N-Matrix
- 35.1 Rangdefekte
- 35.2 Datumsdefekt
- 35.3 Konfigurationsdefekt
- 35.4 Zwangsfreie Ausgleichung eines Lagenetzes
- 35.5 Streckennetz Sattenhausen
- 36 Vermittelnde Beobachtungen mit gemessenen Unbekannten oder Bedingungen zwischen den Unbekannten
- 36.1 Zusammenfassen direkter und vermittelnder Beobachtungen
- 36.2 Ausgleichung eines Schwerenetzes
- 36.3 Bedingungen zwischen den Unbekannten
- 36.4 Ausgleichung in zwei Stufen
- 36.5 Stationsausgleichung zur Winkelmessung in der Sektorenmethode
- 36.6 Netzverbesserung durch zusätzliche Messungen
- 37 Einige Ergänzungen
- 37.1 Probe für die Gewichtsreziproken der ausgeglichenen Beobachtungen
- 37.2 Nachträgliches Einbeziehen zusätzlicher Messungen in eine Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen
- 37.3 Ausgleichung ohne Normalgleichungen
- 37.4 Funktionales und stochastisches Modell
- 37.5 Direkte Berechnung der Residuen
- 4 Ausgleichung bedingter Beobachtungen
- 41 Bedingungsgleichungen, Widersprüche
- 41.1.1 Gang der Ausgleichung
- 41.2 Mehrere Bedingungen
- 41.3 Nichtlineare Bedingungen
- 42 Ausgleichung mit mehreren Bedingungen
- 42.1 Formelableitung
- 42.2 Ausgleichung eines freien Nivellementsnetzes
- 42.3 Ausgleichung angeschlossener Nivellements
- 42.4 Bedingungsgleichungen in freien Richtungsnetzen
- 42.5 Angeschlossene Richtungsnetze
- 42.6 Numerische Behandlung von Sinusbedingungen
- 42.7 Ausgleichung eines Vierecks mit kreuzenden Diagonalen
- 43 Ausgleichung ohne Normalgleichungen
- 43.1 Orthogonale Bedingungsgleichungen
- 43.2 Orthogonalisierung der Bedingungsgleichungen mit Beispiel
- 43.3 Iterative Nivellementsausgleichung nach GAUSS-VOGLER
- 43.4 Stationsausgleichung bei der Schweizer Sektorenmethode nach BAESCHLIN
- 44 Bedingungsgleichungen mit Unbekannten
- 44.1 Problem
- 44.2 Formelableitung
- 44.3 Fehlerrechnungen
- 44.4 Azimutbestimmung nach SODANO
- 44.5 Ausgleichungsalgorithmus der Photogrammetr
- 44.6 Beispiel
- 5 Ausgewählte Aufgaben der Ausgleichsrechnung
- 51 Große Dreiecksnet
- 51.1 Additionstheorem der reduzierten Normalgleichungen
- 51.2 Probleme der Netzabgrenzung
- 52 Einfluß vernachlässigter Korrelationen
- 53 Ausgleichende Funktionen
- 53.1 Die Aufgabe
- 53.2 Ausgleichende Gerade und Regressionsgerade
- 53.3 Ausgleichende Sinuslinie
- 53.4 Willkürliche Funktionen
- 53.5 Multiple Abhängigkeiten
- 6 Einige Anwendungen der mathematischen Statistik
- 61 Verteüungsquantilen und Vertrauensbereiche
- 62 t-Verteilung, t-Quantilen und Vertrauensbereich für ζ
- 62.1 t-Verteilung
- 62.2 Quantilen der t-Verteilung
- 62.3 Vertrauensbereich für den Erwartungswert, wenn σ nicht gegeben ist
- 63 χ2-Verteilung und Vertrauensbereich für σ
- 63.1 χ2-Verteilung
- 63.2 Quantilen der χ2-Verteilung
- 63.3 Vertrauensbereich für σ
- 64 Signifikanztest
- 64.1 Problem
- 64.2 Verstärken eines Signifikanzbeweises
- 64.3 Risiken und Macht des Testes
- 65 Teste zu Varianzen und Kovarianzen
- 65.1 F-Verteilung
- 65.2 Quantilen der F-Verteilung
- 65.3 Vergleich empirischer Varianzen
- 65.4 BARTLETTs Homogenitätstest
- 65.5 Verteilung des Korrelationskoeffizienten
- 65.6 Vertrauensbereich und Signifikanztest für den Korrelationskoeffizienten
- 66 Signifikanzteste für die Differenzen zweier Zufallsgrößen
- 66.1 Vergleich zweier empirischer Mittelwerte bei gleicher Varianz der Beobachtungen
- 66.2 Vergleich zweier empirischer Mittelwerte bei ungleicher Varianz der Beobachtungen
- 66.3 Vergleich zweier unabhängig ausgeglichener Werte eines Parameters
- 67 Prüfung von Verteilungen
- 67.1 χ2-Anpassungstest
- 67.2 χ2-Anpassungstest nach MANN und WALD
- 67.3 Anpassungstest der empirischen Summenfunktion nach KOLMOGOROW und SMIRNOW
- 67.4 Spezielle Prüfungsverfahren zur Normalverteilung
- 7 Mathematische Modelle für emprische Erkenntnisse
- 71 Regressionsanalysen
- 71.1 Regressionskoeffizient
- 71.2 Regression im normalverteilten Bivariat
- 71.3 Partielle Korrelation
- 71.4 Multiple Regression
- 72 Kollokation
- 72.1 Begriffe
- 72.2 Beobachtungsgleichungen
- 72.3 Formelableitung
- 72.4 Voraussetzungen für sinnvolle Anwendung
- 72.5 Kovarianzmatrix, positiv definite Funktionen
- Anhang
- Tabelle 1: Wahrscheinlichkeitsdichte der normierten Normalverteilung
- Tabelle 2: Verteilungsfunktion der normierten Normalverteilung
- Literatur
- Sachregister