Die Differential- und Integralrechnung verstehen!Die Analysis ist in der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre unverzichtbares Handwerkszeug. Dieses Lehrbuch geht auf das bedeutende Teilgebiet der Mathematik im Detail ein und zeigt die Anwendungsbezüge zu den Wirtschaftswissenschaften auf. Dabei stehen Folgen und Reihen, ökonomische Funktionen mit einer und mehreren Variablen sowie die Differential- und schließlich die Integralrechnung im Mittelpunkt.Wichtige Sätze und Definitionen sind hervorgehoben. Rechen- und Grafikbeispiele erleichtern das Verständnis. Zahlreiche Aufgaben mit Lösungen helfen dabei, das Gelernte rasch zu vertiefen und selbstständig anzuwenden.Das Buch richtet sich an Bachelorstudierende der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre sowie angrenzender Studiengänge.
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Folgen und Reihen spielen in vielen ökonomischen Fragestellungen eine wichtige Rolle. So lassen sich beispielsweise die Zinsrechnung, die Rentenrechnung und auch die Unternehmensbewertung auf Folgen und Reihen zurückführen. In diesem Kapitel sollen zunächst Folgen sowie deren wesentliche Eigenschaften vorgestellt werden. Im zweiten Teil des Kapitels erfolgt die Erweiterung auf Reihen; dabei wird insbesondere auf die genannten Anwendungen eingegangen.
1.1 Folgen
Betrachtet man für eine beliebige Abbildung nur jene Werte, die sich durch Einsetzen von Argumenten n aus den natürlichen Zahlen ergeben, so erhält man eine Punktmenge, die sogenannte Folge. Durch die Wahl der Argumente n aus den natürlichen Zahlen ist in der Folge gleichzeitig eine Reihenfolge festgelegt. Ist die Indexmenge
unbegrenzt, so spricht man von einer unendlichen Folge, ansonsten von einer endlichen Folge.
Definition 1.1.1
Eine Folge ist eine Abbildung
Der Wert an := f(n), n = 1, 2, . . . heißt n-tes Folgeglied, a1 ist der Startwert; übliche Schreibweisen für Folgen sind
.
Bemerkung 1.1.1
Für Folgen sind verschiedene Darstellungsformen definiert:
explizite Darstellung (an) mit der Folgenvorschriftan = f(n)
Aufzählung: (an) = {a1, a2, a3, . . .}
rekursive Darstellung (an) mit an = f(an−1), a1 gegeben
Die Aufzählung wird üblicherweise bei endlichen Folgen verwendet oder in Fällen, in welchen zum Beispiel durch Messungen nur einzelne Werte bekannt sind. Aus diesen Messwerten soll dann die rekursive oder die explizite Darstellung abgeleitet werden.
Die rekursive Darstellung birgt den Nachteil, dass für hohe Indizes zunächst alle vorherigen Folgeglieder bestimmt werden müssen. Die häufigste Verwendung findet daher die explizite Darstellung, da bei dieser die Berechnung eines Folgegliedes unabhängig von allen vorherigen Folgegliedern ist. Im folgenden Beispiel sind für vier Folgen die verschiedenen Darstellungsformen angegeben.
Beispiel 1.1.1
1. Die Folge (an) mit an = n kann wie folgt dargestellt werden:
explizite Darstellung: an = n
Aufzählung: (an) = {1, 2, 3, . . .}
rekursive Darstellung: an = an−1 + 1, a1 = 1.
2. Die Folge (an) mit an = (−1)n kann wie folgt dargestellt werden:
