Martingale und Prozesse

René L. Schilling

• Verlag: De Gruyter
• Jahr: 2018
• ISBN:
  9783110387513
• Auflage: 1
• Thema: Mathematik
• Thema: Wahrscheinlichkeitsrechnung & Statistiken

Dieser Band ist der dritte Teil der "Modernen Stochastik". Als Fortsetzung der "Wahrscheinlichkeit" werden nun dynamische stochastische Phänomene anhand stochastischer Prozesse in diskreter Zeit betrachtet. Die erste Hälfte des Buchs gibt eine Einführung in die Theorie der diskreten Martingale – ihr Konvergenzverhalten, optional sampling & stopping, gleichgradige Integrierbarkeit und Martingalungleichungen. Die Stärke der Martingaltechniken wird in den Kapiteln über Anwendungen in der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung und über die Burkholder-Davis-Gundy-Ungleichungen illustriert. Die zweite Hälfte des Buchs beschäftigt sich mit Irrfahrten auf dem Gitter ? d und auf ? d, ihrem Fluktuationsverhalten, Rekurrenz und Transienz. Die letzten beiden Kapitel geben einen Einblick in die probabilistische Potentialtheorie sowie einen Ausblick auf die Brownsche Bewegung: Donskers Invarianzprinzip.

Contents
Fair Play
Bedingte Erwartung
Martingale
Stoppen und Lokalisieren
Konvergenz von Martingalen
L 2 -Martingale
Gleichgradig integrierbare Martingale
Einige klassische Resultate der W-Theorie
Elementare Ungleichungen für Martingale
Die Burkholder–Davis–Gundy Ungleichungen
Zufällige Irrfahrten auf ? d – erste Schritte
Fluktuationen einer einfachen Irrfahrt auf ?
Rekurrenz und Transienz allgemeiner Irrfahrten
Irrfahrten und Analysis
Donskers Invarianzprinzip und die Brownsche Bewegung

1Fair Play

You have not played as yet? Do not do so; above all avoid a martingale, if you do. Play ought not to be an affair of calculation, but of inspiration. I have calculated infallibly, and what has been the effect?

William Makepeace Thackeray
The Newcomes, Chapter XXVIII

Die Theorie der Martingale gehört zu den bedeutendsten Entwicklungen der Wahrscheinlichkeitstheorie im 20. Jahrhundert. Ursprünglich wurden Martingale 1937 von Paul Lévy [30] für das Studium von nicht-unabhängigen Zufallsvariablen eingeführt, der Begriff Martingal geht auf Jean Ville [45] zurück, der auch den Zusammenhang von Martingalen mit der (mathematischen) Theorie von Spielen herstellte. Die zentrale Bedeutung von Martingalen für die Wahrscheinlichkeitstheorie hat Joseph Doob erkannt; viele der wichtigsten Sätze und Definitionen der Martingaltheorie gehen auf ihn zurück und finden sich bereits in seinem Buch [19] aus dem Jahr 1953.

Oft werden Martingale als Modelle für „faire“ Spiele verwendet. Dabei st...

Inhaltsverzeichnis

• Cover
• Titelseite
• Impressum
• Vorwort
• Bezeichnungen
• Inhalt
• 1 Fair Play
• 2 Bedingte Erwartung
• 3 Martingale
• 4 Stoppen und Lokalisieren
• 5 Konvergenz von Martingalen
• 6 ⧫L2-Martingale
• 7 Gleichgradig integrierbare Martingale
• 8 ⧫Einige klassische Resultate der W-Theorie
• 9 Elementare Ungleichungen für Martingale
• 10 ⧫Die Burkholder–Davis–Gundy Ungleichungen
• 11 Zufällige Irrfahrten auf ℤd – erste Schritte
• 12 ⧫Fluktuationen einer einfachen Irrfahrt auf ℤ
• 13 Rekurrenz und Transienz allgemeiner Irrfahrten
• 14 ⧫Irrfahrten und Analysis
• 15 ⧫Donskers Invarianzprinzip und die Brownsche Bewegung
• A Anhang
• Literatur
• Stichwortverzeichnis