Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software

Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie

Günter Lumpe, Volker Gensichen

• Verlag: Ernst & Sohn
• Jahr: 2014
• ISBN:
  9783433604434
• Auflage: 1
• Thema: Technik & Maschinenbau
• Thema: Bauingenieurwesen

Umfangreiche Überprüfungen von Stabtheorie und
Berechnungsergebnissen durch die Verfasser belegen, dass
der EDV-gestützte Entwurf eines Tragwerks grob fehlerhaft sein
kann. Das vorliegende Buch klärt die Frage, wie wirklichkeitsnah
die Resultate aktueller Stabstatik-Software ausfallen. Mit Hilfe
zahlreicher Referenzbeispiele kann jeder Anwender diese Frage
für die von ihm genutzte Software prüfen. Darüber hinaus wird
ein Abriss der genauen geometrisch nichtlinearen
Biegetorsionstheorie und deren Aufbereitung für die FEM
dargestellt.

Dieses Buch ist ein unverzichtbares Hilfsmittel
für Aufsteller und Prüfer von Standsicherheitsnachweisen
sowie für Software-Entwickler.

Prof. Dr.-Ing. Günter Lumpe ist seit 1991 Professor für
Stahlbau an der Hochschule Biberach. Er war über zehn Jahre
im industriellen Stahl- und Anlagenbau praktisch tätig.

Prof. Dr.-Ing. Volker Gensichen war im Industrie- und Anlagenbau
tätig. Bis 2007 lehrte er Massivbau und Stahlbau an der FH
Münster. Er beschäftigt sich mit der Verifikation der Ergebnisse
von Statik-Software und ist stellv. Vorsitzender im VDI-Ausschuss
"Softwaregestützte Tragsicherheitsnachweise".

Teil 1

Zehn einfache Prüfbeispiele
zur Verifikation von Software-Ergebnissen

(Weitere Prüfbeispiele s. Teil 2)

Beispiel 1

Einachsige Biegung mit Druck

Kragstütze mit aufgesetztem Koppelträger

Aufgabenstellung

Anhand der in Bild 1.1 dargestellten Stütze wird die Beanspruchung „Einachsige Biegung mit Druck“ untersucht. Hierbei soll gezeigt werden, dass für die Analyse dieses ebenen Beanspruchungsfalls auch die einfachste Variante der Theorie II. Ordnung ausreicht. Weiteres s. Kurzkommentar am Ende dieses Beispiels.

Zu ermitteln sind die Kraft-Verformungskurve für die seitliche Verschiebung w₂ des Zwischengelenks, ferner einige weitere statische Größen (s. Tab. 1.2).

Bild 1.1 System und Belastung; Knickbiegelinie

Querschnittswerte

Da der Dreiblechquerschnitt H 400/180/10/14 in diesem Buch in fast allen Beispielen als Standardquerschnitt verwendet wird, sind die Querschnittswerte zur Vereinfachung von Vergleichsberechnungen in Tab. 1.1 zusammengestellt. Diese Querschnittsform wurde gewählt, um von der Stabtheorie unabhängige Vergleichsberechnungen mit Flächenelementen zu vereinfachen; gewalzte Querschnitte lassen sich wegen der Ausrundungen nur schwierig mit solchen Elementen darstellen.

Die Berechnung des Torsions-Trägheitsmoments I_T von Dreiblechquerschnitten verdient besondere Beachtung. Es gibt zahlreiche, eigentlich gleichwertige Methoden zur Ermittlung dieser Größe. Da sich Abweichungen im Wert von I_T jedoch überproportional auf die Ergebnisse auswirken können, wird empfohlen, für Vergleichsberechnungen stets den in Tab. 1.1 aufgeführten Wert I_T = 45,00 cm⁴ zu verwenden. Hierdurch wird eine zusätzliche Quelle für „Scheinfehler“ vermieden.

Tab. 1.1 Querschnittswerte H 400/180/10/14

Ergebnisse

Die Zahlenwerte einiger statischer Größen sind in Tab. 1.2 zusammengestellt. Die Abweichungen der Th.II.O. (Tab. 1.2, Sp. 5) sind unter baupraktischen Aspekten vernachlässigbar gering.

Die Kraft-Verschiebungskurve für das Zwischengelenk zeigt Bild 1.2. Die Kurven nach der exakten Berechnung und nach Th.II.O. sind fast deckungsgleich. Für F_x = 620, F_z = 3,1 kN (markierter Punkt auf der Kurve) ist die plastische Tragfähigkeit des Querschnitts erreicht (M_y-N-Interaktion an der Einspannung).

Bild 1.2 Kraft-Verformungskurve für das Zwischengelenk

Tab. 1.2 Statische Größen; Fehler der Th.II.O.

Baustatische Relevanz

Die Sicherheit gegen BK in der hier untersuchten Beanspruchungsebene ist für den auf der Kurve markierten Punkt (F_x = 620, F_z = 3,1 kN) gegeben, jedoch mit α_cr = 1,05 sehr gering. Für das Gebrauchslastniveau (F_x ≈ 400 bis 460 kN) liegt die maximale Durchbiegung mit w₂ < 1,2 cm in der Größenordnung von l₁/500. Die baupraktische Relevanz ist somit gegeben (einschränkende Anmerkung s. nachfolgender Kurzkommentar).

Kurzkommentar

An diesem Beispiel wird gezeigt, dass auch die einfachste der Varianten der Theorie II. Ordnung, die Th.II.O.-1 (s. Tab. II/2.4, Z. 1) in der Regel ausreicht, wenn ausschließlich eine ebene Beanspruchung (einachsige Biegung ohne oder mit Druck) vorliegt (Ausnahme: durchschlaggefährdete Systeme; s. Beispiel 2).

Um diese Erkenntnis möglichst allgemeingültig zu untermauern, wurde das besonders empfindliche System mit aufgesetzter kurzer Koppelstütze gewählt. Ferner wurde die horizontale „Störlast“ mit F_z = F_x/200 gegenüber den z. B. gemäß den Stahlbaunormen zu berücksichtigenden Ersatzlasten sehr gering angesetzt, um mit der Kraft-Verschiebungskurve möglichst dicht an die horizontale Asymptote (F_z,cr = 652 kN) der Th.II.O. heranzukommen. Selbst unter diesen ungünstigen Umständen steigen die Fehler der Th.II.O. nicht über 6 %, sind also unproblematisch. Allerdings ist anzumerken, dass die Ergebnisse der Th.II.O. – anders als in Bild II/2.5a – auf der unsicheren Seite liegen. Dies hängt mit dem komplexen Verhalten des vorliegenden Systems bei sehr großen Verformungen zusammen; Genaueres hierzu s. [48].

Beispiel 2

Durchschlagprobleme – Analyse nach Th.II.O. unzulässig

Unsymmetrisches v. MISES-Fachwerk mit geringem Stichmaß

Aufgabenstellung

Das in Bild 2.1 dargestellte System ist aufgrund des geringen Stichs und der elastischen horizontalen Lagerung in den Knoten 3 und 4 bereits im elastischen Beanspruchungsbereich durchschlaggefährdet.

Gesucht sind die Last-Verformungskurve der vertikalen Verschiebung f₁ des Scheitelgelenks sowie die Normalkräfte, das maximale Biegemoment und die horizontale Verschiebung u₃ am rechten Lager.

Bild 2.1 System und Belastung

Bild 2.2 Last-Verschiebungskurve für das Scheitelgelenk

Ergebnisse

Die Last-Verschiebungskurve ist in Bild 2.2, weitere Größen sind in Tab. 2.1 zusammengestellt, sowohl nach Th.II.O. als auch nach der exakten Stabtheorie. Da es sich um ein ausschließlich in seiner Ebene beanspruchtes System handelt, liefern alle Varianten der in Tab. II/2.4 aufgeführten Theorien II. Ordnung gleiche Resultate.

Baustatische Relevanz

Die Querschnittstragfähigkeit dieses sehr flachen Systems ist – auch für S 235 – bei Weitem nicht ausgenutzt. Maßgebend für die Bemessung wird zum einen die Begrenzung der Verformungen im Gebrauchszustand, zum anderen die Einhaltung eines ausreichenden Sicherheitsabstands des Gebrauchslastniveaus von der Durchschlaglast. Für ebene Konstruktionen stellt das Beispiel wegen des sehr geringen Verhältnisses von Stichmaß zu Spannweite baupraktisch sicherlich einen Grenzfall dar. Bei räumlichen Kuppelbauten sind diese Verhältnisse besonders im Scheitelbereich jedoch durchaus anzutreffen.

Tab. 2.1 Wertetabelle zu Bild 2.2

Verweis auf ähnliche Beispiele

Abschn. II/2.7.2 sowie Beispiel nach Bild II/2.8 („Pagodendach“).

Kurzkommentar

Wegen der Linearisierung der Beschreibung der Verformungsgeometrie kann eine Th.II.O. das Durchschlagproblem grundsätzlich nicht erfassen. Vergleichsberechnungen mit kommerzieller Th.III.O.-Software ergeben für ebene Durchschlagprobleme in der Regel Ergebnisse, die sehr gut mit den exakten Berechnungen übereinstimmen. Vorsicht ist jedoch stets – auch bei Anwendung einer Th.III.O. – geboten, wenn Durchschlagprobleme mit räumlicher Beanspruchung einhergehen. Weiteres s. Abschn. II/2.7.2.

Beispiel 3

Doppelbiegung – ein simpler Fall?

Gabelgelagerter Einfeldträger mit Einzellasten F_y und F_z in Feldmitte

Aufgabenstellung

Der in Bild 3.1 dargestellte beidseitig gabelgelagerte Träger wird durch die Einwirkungen F_y und F_z auf zweiachsige Biegung beansprucht. Gesucht sind die Verformungen und die Schnittgrößen.

Ferner soll anhand dieses Beispiels untersucht werden, ob das spezielle Superpositionsgesetz der Th.II.O. bei räumlicher Beanspruchung gilt.

Bild 3.1 System und Belastung

Ergebnisse

Die Verformungen sind in Bild 3.2, die Schnittgrößen und Spannungen in Bild 3.3 für die Berechnung nach verschiedenen Theorien dargestellt. Definition der Theorien s. Tab. II/2.4. In Tab. 3.1 sind die Ergebnisse für verschiedene Lastniveaus zusammengestellt.

Bild 3.2 Verformungen
(exakt / Th.II.O.-3W, wahrer relativer Fehler...

Inhaltsverzeichnis

• Decken
• Inhaltsverzeichnis
• Titelseite
• Copyright Seite
• Vorwort
• Zum Gebrauch Dieses Buches
• Teil 1: Zehn Einfache Prüfbeispiele zur Verifikation Von Software-Ergebnissen
• Teil 2: Nichtlineare Stabtheorie großer Verformungen bei Räumlicher Beanspruchung
• Literatur und EDV-Programme
• Sachverzeichnis