Teil II
Landschaftserkundung zur linearen Algebra
In diesem Teil …
Tauchen Sie ein in die Welt der linearen Algebra! Hier erfahren Sie alles Wissenswerte über Vektorräume, die zentrale Struktur der linearen Algebra. Wesentlich sind ebenfalls lineare Gleichungssysteme. Sie lernen die wichtigsten und schnellsten Lösungsverfahren kennen und interpretieren die Dimension der Lösungsräume. Schließlich erkläre ich ihnen kompakt und verständlich alles, was Sie über Matrizen müssen.
Kapitel 4
Vektorräume mit Aussicht
In diesem Kapitel
Bedeutung und Sinn der Vektorräume erfassen
Alle Operationen in Vektorräumen präzise und mit Beispielen kennenlernen
Die wichtigsten Vektorräume kurz und bündig behandeln
Das Konzept und die Erzeugung der Unterräume verstehen
Summen von Unterräumen bilden können
Schüler und Studierende haben im Allgemeinen kein Problem damit, gewisse Rechenvorschriften anzuwenden und Umformungen jeglicher Art durchzuführen. Doch häufig ist es die mathematisch so wichtige zugrundeliegende Struktur, die Schwierigkeiten bereitet. Im Falle der linearen Algebra handelt es sich dabei um den Vektorraum .
Dieses Kapitel widmet sich ganz intensiv diesem Begriff und behandelt alles Wissenswerte rund um Vektorräume. Am Ende sollten Sie keinerlei Schwierigkeiten haben, Vektorräume jeglicher Art zu identifizieren und die notwendigen Operationen anzuwenden. Natürlich dürfen Sie Ihr Wissen auch an Ihre Freunde und Bekannten weitergeben, falls diese sich in den Vektorräumen verirren sollten …
Räume voller Vektoren
Stellen Sie sich ein Zimmer vor, das voll gestopft ist mit Pfeilen, die man auch für das Bogenschießen gut gebrauchen könnte! Genau das ist kein Vektorraum.
Es ist zwar richtig, dass die »Bewohner« der Vektorräume Vektoren sind, aber das ist auch schon alles. Ein Vektorraum ist nicht begrenzt, in keiner Richtung, und die Vorstellung, dass Vektoren wie Pfeile aussehen, sollten Sie ganz schnell wieder vergessen.
Vektoren können vielmehr alle möglichen mathematischen Objekte sein. Zum Beispiel Matrizen oder Polynome oder sogar lineare Abbildungen, also Funktionen von einem Vektorraum in einen anderen. Genau genommen werden diese Objekte erst dadurch zu Vektoren, dass Sie Elemente eines Vektorraums sind.
Aber keine Panik! Die Ihnen vielleicht bereits vertrauten n‐Tupel , das sind n übereinander geschriebene Zahlen, stellen ebenfalls gute Kandidaten für Vektoren dar. Wenn Sie dieses Kapitel bis zum Ende durcharbeiten, haben Sie die besten Voraussetzungen dafür gelegt, die wesentlichen Erkenntnisse der linearen Algebra zu verstehen.
Dazu gehört auch, dass Sie Vektoren allgemeiner Vektorräume mit einem kleinen Trick eben doch mit n‐Tupeln identifizieren dürfen. Aber bis dahin ist es noch ein Stück des Weges!
Wenn Ihnen das jetzt ein wenig zu abstrakt erscheint, gebe ich Ihnen gerne einen Vergleich dazu. Angenommen, in diesem Buch würden die Eigenschaften von Fahrzeugen mit vier Rädern behandelt werden, dann hätten Sie vermutlich als Standardbeispiel einen PKW vor Augen. Allerdings fallen unter dieselbe Kategorie auch LKW. Und nicht nur das, auch Quads und Seifenkisten gehören dazu. Aber das ist noch nicht alles: wenn Sie es ganz genau nehmen, müssen auch Fahrräder mit Stützrädern dazu gerechnet werden. Und in der Mathematik nehmen wir alles immer ganz genau. Also halten...
