Filosofía de la física, I

El espacio y el tiempo

Tim Maudlin, Mariano Sánchez-Ventura, Mariano Sánchez-Ventura

• Editorial: Fondo de Cultura Económica
• Año: 2014
• ISBN:
  9786071624338
• Categoría: Ciencias físicas
• Categoría: Física

Tim Maudlin ofrece una introducción a la filosofía de la física en dos volúmenes. Este primer tomo aborda el estudio del espacio y el tiempo, o espacio-tiempo, concebidos como una estructura geométrica. El autor indaga la naturaleza de esta estructura a través de la historia de las teorías físicas de Aristóteles, Galileo, Newton y Einstein, y expone las implicaciones conceptuales y ontológicas contenidas en diferentes nociones como las simetrías del espacio y el debate Leibniz-Clarke, la velocidad absoluta y la relatividad galileanas, el espacio-tiempo de Minkowski, los empujones abstractos y físicos, la relatividad general, o la dirección y la topología del tiempo, entre otras.

IV. LA RELATIVIDAD ESPECIAL

LA RELATIVIDAD ESPECIAL Y EL ESPACIO-TIEMPO DE MINKOWSKI

La relatividad especial es una teoría muy sencilla que comúnmente se expone de manera compleja y confusa. Algunos de los motivos de esta situación son históricos. El mismo Einstein exponía la teoría como la consecuencia de dos principios: 1) la equivalencia de todos los marcos inerciales y 2) la constancia de la velocidad de la luz. Sobre la base de estos dos principios es posible derivar las transformaciones de Lorentz, un conjunto de ecuaciones que relacionan un conjunto de coordenadas con otro conjunto de coordenadas. Pero ya desde ahora podemos ver que este acercamiento a la comprensión de la teoría se ha descarrilado seriamente.

Primero, la noción de un sistema inercial, o de un conjunto inercial de coordenadas, o de un marco de referencia inercial, más que fundamental es derivativa. Sólo es posible definir cada uno de estos conceptos mediante la referencia a una cierta estructura geométrica objetiva del espacio-tiempo mismo, para entender el sentido del calificativo “inercial”. De manera que se debería empezar con la geometría intrínseca, no con los sistemas de coordenadas ni con los marcos de referencia. Segundo, en el capítulo precedente nos empeñamos en eliminar las velocidades absolutas de la mecánica newtoniana. Fue grato concluir que en el espaciotiempo galileano nada tiene una velocidad absoluta. Así que nos debería parecer una especie de retroceso el hecho de fundar la relatividad especial en propuestas sobre la velocidad de cualquier cosa. Basar una explicación de la relatividad en un discurso sobre velocidades inevitablemente sugiere que de nuevo regresamos al espacio-tiempo absoluto newtoniano y al movimiento absoluto newtoniano. Es lo que suelen hacer de manera tácita las presentaciones populares de la relatividad, diciendo cosas como “En la relatividad, el tiempo se hace más lento cuando un objeto viaja rápidamente” o “En la relatividad, un objeto se encoge al acercarse a la velocidad de la luz” o “No nos percatamos de los efectos relativistas en la vida cotidiana porque distamos mucho de viajar a la velocidad de la luz”. Todas estas afirmaciones sugieren que un cuerpo, en cualquier momento dado, tiene una velocidad que puede estar más cerca o más lejos de la velocidad de la luz. Pero en la relatividad, tanto como en el espacio-tiempo galileano, tales velocidades simplemente no existen. No hay ningún hecho físico respecto a la velocidad de la Tierra en este momento; no es más correcto decir que dista mucho de viajar a la velocidad de la luz que decir que viaja a 99% de la velocidad de la luz. Para entender la relatividad, tenemos que suprimir toda idea de que las cosas, incluyendo la luz, tienen velocidades.

Para empezar, nos enfocaremos en únicamente un fenómeno físico que puede comprobarse de forma experimental. El fenómeno consiste en que la trayectoria de la luz en un vacío es independiente del estado físico de su fuente. En específico, supongamos que dos focos de flash se acercan uno al otro velozmente. Al pasar uno junto al otro, ambos se encienden. Es un hecho empírico verificable el hecho de que la luz de los dos focos llegará hasta un solo observador en cualquier parte del universo exactamente en el mismo instante. Así, las trayectorias de las luces, las rutas que siguen, no dependen de lo que la fuente estaba haciendo al emitir la luz.

Pueden ser diferentes otros aspectos de la luz proveniente de los dos focos de flash. Por ejemplo, los observadores suelen ver una diferencia en el color o la longitud de onda o la frecuencia de una de las dos luces, pero de todos modos los dos rayos de luz le llegan al mismo tiempo a un observador. Ésta es obviamente una condición necesaria si queremos asentar que “la velocidad de la luz es constante”: si un rayo de luz puede rebasar o alcanzar al otro, entonces no se podría considerar que sus velocidades son las mismas. Pero en el fenómeno que hemos descrito no se menciona la velocidad de ninguna cosa ni se dice que debamos observar o calcular la velocidad de cualquier cosa. Esta cuestión física será para nosotros como una piedra de toque.

Si aceptamos que en un vacío no existe una estructura física, salvo la estructura misma del espacio-tiempo, entonces el comportamiento de la luz en un vacío implica que únicamente la geometría del espacio-tiempo puede determinar la trayectoria de los rayos de luz. Es decir, dado cualquier punto p en el espacio-tiempo, la estructura del espaciotiempo debe determinar hacia dónde la luz emitida desde ese punto p (en cualquier dirección posible) habrá de ir. Este conjunto de puntos, los lugares a donde la luz emitida desde p (en un vacío) podría llegar, tiene el nombre de cono de luz futuro de p. Y de manera similar, cualquier luz que logre llegar a p tuvo que haber venido a lo largo de una de las trayectorias de un conjunto particular de trayectorias que forman el cono de luz pasado de p. Así, nuestra simple observación sobre el comportamiento de la luz en un vacío implica que la geometría del espacio-tiempo, sea como fuere, debe asociar con cada evento un cono de luz pasado y un cono de luz futuro.

En este punto, en vez de pretender derivar la relatividad especial a partir de algún fenómeno o de algunos principios generales, simplemente expondremos, en la forma más clara posible, qué especie de estructura espacio-temporal propone la relatividad especial. Dada esta propuesta teórica, nosotros pasaremos a examinar algunos planteamientos físicos que es posible enmarcar con base en esa geometría. Como veremos, la afirmación de que “la velocidad de la luz es constante” es físicamente muy compleja, y sólo podremos entenderla con claridad una vez que hayamos estudiado a fondo otros aspectos del tema.

Con el fin de especificar la estructura geométrica del espacio-tiempo en la relatividad especial, seguiremos la misma estrategia que anteriormente empleamos en el caso de E³. Ya vimos que es posible describir la geometría de E³ indirectamente mediante la referencia a los sistemas de coordenadas cartesianos: un espacio es E³ si y sólo si admite coordenadas que se relacionan con la estructura geométrica en una forma peculiar. El espacio-tiempo de la relatividad especial es el espacio-tiempo de Minkowski, y su geometría también puede especificarse indirectamente mediante la referencia a ciertos sistemas de coordenadas especiales, las coordenadas de Lorentz. De hecho, la forma en que las coordenadas de Lorentz se relacionan con la geometría del espacio-tiempo de Minkowski es casi la misma en que las coordenadas cartesianas se relacionan con el espacio euclidiano. Sólo hay una mínima diferencia entre ambos casos. Pero no debemos olvidar la advertencia de Einstein: las coordenadas no necesariamente tienen una importancia física directa. En particular, una de las coordenadas será la llamada coordenada t, lo cual sugiere que tiene algo que ver con el tiempo o con los relojes. Pero nosotros no estamos presuponiendo semejante vínculo: por ahora, las coordenadas no son más que números que se asignan a los eventos.

El espacio-tiempo de Minkowski es tetradimensional, es decir, necesitamos cuatro coordenadas para cubrirlo con funciones coordenadas continuas. Las cuatro tradicionalmente se denominan t, x, y y z. Puesto que las funciones coordenadas son siempre continuas, este hecho por sí solo determina la topología del espacio-tiempo de Minkowski: un punto se traslada continuamente en el espacio-tiempo de Minkowski tan sólo si sus coordenadas de Lorentz cambian todas de forma continua al mismo tiempo que se mueve. Ya que esta situación es con exactitud la misma que la de las coordenadas cartesianas en E⁴, el espacio-tiempo de Minkowski y el espacio euclidiano de cuatro dimensiones son topológicamente idénticos.¹

La estructura afín del espacio-tiempo de Minkowski tiene exactamente la misma relación con las coordenadas de Lorentz que la estructura afín del espacio euclidiano tiene con las coordenadas cartesianas. Es decir, un conjunto de eventos en el espacio-tiempo de Minkowski forma una línea recta completa si y sólo si, para los números elegidos A, B, C, D, E, F, G y H, las coordenadas de los puntos en el conjunto tienen los valores

(As + B, Cs + D, Es + F Gs + H),

donde s corre sobre los números reales. Como en el caso del espacio euclidiano, por lo menos uno de los números A, C, E y G debe ser no nulo.

En resumen, tanto la estructura topológica como la estructura de línea recta del espacio de Minkowski son iguales a E⁴. Esto significa que los diagramas del espacio-tiempo euclidiano pueden representar esos aspectos del espaciotiempo de Minkowski de una manera particularmente sencilla. Las líneas continuas en el diagrama pueden corresponder a líneas continuas en el espacio-tiempo, y las líneas rectas en el diagrama pueden corresponder a líneas rectas en el espacio-tiempo. Claro, no podemos producir diagramas tetradimensionales reales, pero podemos describir de manera usual el espacio euclidiano tridimensional. Así que si eliminamos una de las dimensiones del espacio-tiempo de Minkowski, las demás pueden describirse sencilla y precisamente. Sólo nos queda por examinar la estructura métrica del espacio-tiempo de Minkowski.

Dadas las coordenadas cartesianas en E³, la estructura métrica se representa, en términos de las coordenadas, por la función

donde X(p), Y(p) y Z(p) son las tres funciones coordenadas de las coordenadas cartesianas. En el espacio-tiempo de Minkowski, la estructura geométrica análoga es el llamado intervalo relativista invariante, y se puede representar, en términos de las coordenadas de Lorentz, como

Aquí hemos terminado nuestra explicación del espaciotiempo de Minkowski. Nos queda por hacer el análisis de esta geometría.

El meollo de la relatividad especial se encuentra en la ecuación IV.1, e invertiremos bastante tiempo en el devela-miento de su significación. Pero antes unas cuantas advertencias, especialmente para los lectores que han estudiado física.

En muchos manuales de física, el intervalo se define como el cuadrado de la cantidad que aparece arriba. Pero es más apropiada la raíz cuadrada, puesto que las proporciones de las dimensiones en el espacio-tiempo de Minkowski son proporcionales a las proporciones de la cantidad definida en la ecuación IV.1. La opción de la raíz cuadrada al parecer tiene consecuencias muy extrañas: por ejemplo, el intervalo que así se define resulta ser a veces un número imaginario. Pero puesto que lo que nos importa en realidad son las proporciones entre estos números, eso no representa una dificultad. También, en algunos manuales se utiliza un método convencional diferente, donde el cuadrado de la diferencia en la coordenada t se sustrae de la suma de los cuadrados de las diferencias de las otras coordenadas. Cambiar la ecuación IV.1 en esta forma daría como resultado que todos los valores reales del intervalo cambiaran, convirtiéndose en valores imaginarios, y viceversa. Pero nuevamente, puesto que lo que importa son las proporciones entre estos números, esto no significa una diferencia real.

Finalmente, en muchos manuales de física se da una definición para una versión diferencial del intervalo. Es decir, si los puntos p y q están suficientemente cercanos el uno del otro, sus valores coordenados estarán cercanos el uno del otro. Así, por ejemplo, T(p) − T(q) será un número muy pequeño, que podemos designar como dT. En la forma diferencial, la ecuación IV.1 se convierte en

Matemáticamente, la forma diferencial es mucho más fuerte y debe usarse en la teoría general de la relatividad. Pero en nuestra presentación usaremos la ecuación IV.1, porque con ella podremos hacer los cálculos con mayor facilidad.

A la cantidad I(p, q) que se define en la ecuación IV.1 a veces se le llama la métrica de Minkowski, pero esto puede resultar confuso. La función no cumple con los requerimientos definicionales de una función métrica: no es definida-positiva y no satisface la desigualdad del triángulo...