LIBRO DÉCIMO
DEFINICIONES
1. Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurables aquellas de las que no es posible que haya una medida común.
2. Las líneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común 1 .
3. Dados estos supuestos, se demuestra que hay un número infinito de rectas respectivamente conmensurables e inconmensurables, unas sólo en longitud y otras también en cuadrado con una recta determinada. Llámese entonces racionalmente expresable la recta determinada; y las conmensurables con ella, bien en longitud y en cuadrado, bien sólo en cuadrado, racionalmente expresables y las inconmensurables con ella llámense no racionalmente expresables 2 .
4. Y el cuadrado de la recta determinada (llámese) racionalmente expresable, y los cuadrados conmensurables con éste racionalmente expresables; pero los inconmensurables con él llámense no racionalmente expresables; y las rectas que los producen (llámense) no racionalmente expresablas, a saber, si fueran cuadrados, los propios lados y si fueran otras figuras rectilíneas, aquellas (rectas) que construyan cuadrados iguales a ellos 3 .
PROPOSICIÓN 1
Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una (magnitud) mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.
Sean AB , Γ dos magnitudes desiguales de las cuales AB es la mayor.
Digo que, si se quita de AB una (magnitud) mayor que su mitad y de la (magnitud) restante, una (magnitud) mayor que su mitad, y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud Γ .
Pues Γ multiplicada será alguna vez mayor que AB [V Def. 4]. Multiplíquese y sea ΔE un múltiplo de Γ mayor que AB ; divídase ΔE en ΔZ , ZH , HE iguales a Γ , y de AB quítese BΘ mayor que su mitad, y de AΘ (quítese) ΘK mayor que su mitad, y así sucesivamente hasta que las divisiones de AB lleguen a ser iguales en número a las divisiones de ΔE .
Sean, pues, AK , KΘ , ΘB divisiones que son iguales en número a las (divisiones) ΔZ , ZH , HE ; ahora bien, dado que ΔE es mayor que AB y que de ΔE se ha quitado la (magnitud) EH menor que su mitad y de AB la (magnitud) BΘ mayor que su mitad, entonces la magnitud restante HΔ es mayor que la (magnitud) restante ΘA . Y dado que HΔ es mayor que ΘA y se ha quitado de HΔ su mitad HZ y de ΘA una (magnitud) ΘK mayor que su mitad, entonces la (magnitud) restante ΔZ es mayor que la (magnitud) restante AK . Pero ΔZ es igual a Γ ; luego es mayor que AK . Por tanto, AK es menor que Γ .
Por consiguiente, de la magnitud AB queda la magnitud AK que es menor que la magnitud dada Γ . Q . E . D . De manera semejante demostraríamos que (esto ocurre) también si se quita la mitad 4 .
PROPOSICIÓN 2
Si al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor de dos magnitudes desiguales, la restante nunca mide a la anterior, las magnitudes serán inconmensurables.
Habiendo, pues, dos magnitudes desiguales AB , ΓΔ y (siendo) AB la menor, al restar sucesivamente la menor de la mayor, no mida nunca la (magnitud) restante a la anterior a ella.
Digo que las magnitudes AB , ΓΔ son inconmensurables.
Pues, si son conmensurables, alguna magnitud las medirá. Mídalas (una magnitud), si es posible, y sea E ; y AB , al medir a ZΔ , deje la magnitud ΓZ menor que ella, y ΓZ , al medir a BH , deje AH menor que ella, y repítase así sucesivamente hasta que quede una magnitud que sea menor que E . Sea así y quede AH menor que E . Así pues, como E mide a AB y AB mide a ΔZ , entonces E también medirá a ZΔ . Pero mide también a la magnitud entera ΓΔ ; luego medirá también a la magnitud restante ΓZ . Ahora bien, ΓZ mide a BH ; entonces E también mide a BH . Pero mide también a la (magnitud) entera AB ; así que medirá también a la (magnitud) restante AH , la mayor a la menor; lo cual es imposible. Luego ninguna magnitud medirá a las magnitudes AB , ΓΔ ; por tanto, las magnitudes AB , ΓΔ son inconmensurables [X Def. 1].
Por consiguiente, si de dos magnitudes desiguales..., etc. 5 .
PROPOSICIÓN 3
Dadas dos magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.
Sean AB , ΓΔ dos magnitudes dadas conmensurables, de las cuales AB sea la menor.
Así pues, hay que hallar la medida común máxima de AB , ΓΔ .
Pues bien, AB o mide a ΓΔ o no la mide. Si, en efecto, la mide y se mide también a sí misma, entonces AB es una medida común de AB , ΓΔ ; y está claro que también es la mayor. Porque no medirá a AB ninguna magnitud mayor que AB .
Pero ahora no mida AB a ΓΔ y, al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor, la (magnitud) restante medirá alguna vez a la anterior a ella, porque AB , ΓΔ no son inconmensurables [X 2]; y AB , al medir a EΔ , deje la (magnitud) EΓ menor que ella, y EΓ , al medir a ZB , deje la (magnitud) AZ menor que ella y mida AZ a ΓE .
Como, en efecto, AZ mide a ΓE ,...