Tratados. Comentarios

Arquímedes, Eutocio, Paloma Ortiz García, Mª Luisa Puertas Castaños, Paloma Ortiz García, Mª Luisa Puertas Castaños

• Editorial: Gredos
• Año: 2016
• ISBN del libro electrónico: 9788424937096
• Categoría: Literature
• Categoría: Ancient & Classical Literary Collections

Arquímedes fue, además de uno de los más brillantes matemáticos de la Antigüedad y de todos los tiempos, astrónomo, físico, ingeniero e inventor. En dos volúmenes reunimos la primera traducción directa del griego al castellano de sus obras conservadas.De Arquímedes sabemos con certeza que era natural de Siracusa y que murió en el 212 a.C., durante la Segunda Guerra Púnica. A lo largo de los siglos su fama se ha fundado en el ameno relato de Plutarco que resalta su capacidad inventiva plasmándola en anécdotas y frases célebres como el "Heúreka" o el "Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo". Pero Arquímedes fue, antes que ingeniero o inventor –y eso que construyó importantes artilugios para sistemas de irrigación, máquinas para mover grandes pesos y bélicas–, uno de los más brillantes matemáticos de la Antigüedad, entre cuyos hallazgos fundamentales se cuentan la medida del círculo y la de la superficie y el volumen de la esfera, descubrimiento considerado por su autor tan valioso que pidió que el resultado final figurara como epitafio de su tumba. Casi un milenio después, Eutocio –perteneciente al círculo de Antemio de Trales, uno de los arquitectos de Santa Sofía– consideró necesario acompañar las obras de Arquímedes con un comentario pormenorizado. En él recogió, entre otras cosas, las soluciones antiguas al problema de la duplicación del cubo y la resolución, debida probablemente al propio Arquímedes, de cierto tipo de ecuación de tercer grado. Este volumen recoge la primera traducción directa del griego al español de los tratados arquimedeos "Sobre la esfera y el cilindro", la "Medida del círculo" y "Sobre conoides y esferoides" junto con una selección de los "Comentarios" de Eutocio.

ARQUÍMEDES

SOBRE LA ESFERA Y EL CILINDRO

INTRODUCCIÓN

La obra que hoy conocemos bajo el título de Sobre la esfera y el cilindro y que consideramos formada por dos libros no fue concebida por Arquímedes como un tratado único ¹ , como ponen de relieve las cartas que preceden a cada uno. El primero de ellos, el Libro I, responde a la intención de Arquímedes de dar a conocer a la comunidad alejandrina sus estudios sobre ciertos «teoremas dignos de mención» de los que se estuvo ocupando después de haberle enviado a Dosíteo los relativos a la cuadratura de la parábola, es de contenido fundamentalmente teórico y tiene por objeto estudiar las propiedades métricas fundamentales de la esfera y el casquete esférico, que el propio Arquímedes resume con el estilo sencillo, directo y conciso característico de sus cartas: primero, que la superficie de toda esfera es el cuádruple del círculo máximo de los que hay en ella; luego, que la superficie de todo casquete esférico es igual a la del círculo cuyo radio es igual a la recta trazada desde el vértice del casquete a la circunferencia del círculo que sirve de base al casquete; además de éstos, que en toda esfera, el cilindro que tiene su base igual al círculo máximo de los de la esfera y una altura igual al diámetro de la esfera, es él mismo una vez y media la esfera y su superficie una vez y media la de la esfera.

El Libro II, por su parte, fue redactado por Arquímedes para responder a una petición de Dosíteo y recoge las «demostraciones de unos problemas» que Arquímedes había enviado previamente a Conón sin resolver. En su respuesta, Arquímedes adelanta a Dosíteo que «la mayor parte de ellas 〈scil., «de las demostraciones»〉 se redactan por medio de los teoremas cuyas demostraciones te mandé antes: que la superficie de la esfera entera es el cuádruple del círculo máximo de los de la esfera y que la superficie de todo casquete esférico es igual a un círculo cuyo radio es igual a la recta trazada desde el vértice del casquete hasta la circunferencia de la base y que en toda esfera el cilindro que tiene por base el círculo máximo de los de la esfera y la altura igual al diámetro de la esfera es él mismo, en magnitud, una vez y media la esfera, y su superficie es una vez y media la superficie de la esfera, y que todo sector sólido es igual al cono que tiene por base un círculo igual a la superficie del casquete de esfera del sector y la altura igual al radio de la esfera».

Probablemente esa coincidencia de fondo en los contenidos fue la que hizo que desde la Antigüedad —aunque no podemos precisar mucho las fechas— hayan sido considerados como dos partes de un todo y se hayan transmitido conjuntamente: Eutocio los conoció ya en esas condiciones, y sus Comentarios a estos escritos incluyen las expresiones «Libro I» y «Libro II».

El Libro I, que comprende 44 proposiciones, ofrece una estructura clara en la que podemos distinguir dos partes, la primera de carácter introductorio y la segunda centrada en los teoremas fundamentales objeto de estudio. La parte introductoria está formada por la carta ya mencionada, seis definiciones y cinco postulados de carácter axiomático —que siguen despertando la admiración de los matemáticos por su sencillez y su genialidad— más las proposiciones 1-22. La proposición 1 completa los asertos de la parte axiomática; las proposiciones 2-6 se ocupan de problemas de construcción de líneas o figuras desiguales que guarden entre sí una proporción menor que la que guardan entre sí otras figuras desiguales dadas; las proposiciones 7-12 comparan las áreas parciales —laterales o no— de conos y cilindros con las de pirámides o paralelepípedos semiinscritos o semicircunscritos a ellos ² ; las proposiciones 13-20 se ocupan de la medida de conos, cilindros y rombos sólidos ³ : áreas laterales del cono, el cilindro y el tronco de cilindro en relación con los círculos que les sirven de base, volumen del rombo sólido y de ciertas figuras cónicas derivadas del mismo; 21 y 22 estudian la proporcionalidad de las cuerdas trazadas de determinada manera en el polígono inscrito en el círculo y en el segmento circular en relación con el diámetro del círculo o la altura del segmento. Todas estas proposiciones tienen en mayor o menor medida carácter instrumental a efectos de lo tratado en la segunda parte, que es la que contiene las cuestiones fundamentales del tratado: en 23-34 se demuestra que la superficie de la esfera es igual al cuádruple del círculo máximo de la misma y que el volumen de la esfera es el cuádruple del cono que tiene por base su círculo máximo y por altura el radio de la esfera; para ello se recurre a la comparación entre la esfera y los sólidos inscritos o circunscritos a ella generados por revolución de un polígono regular y de número par de lados o por revolución de un polígono regular cuyo número de lados sea múltiplo de cuatro; las proposiciones 35-44 estudian por el mismo método lo relativo a los casquetes esféricos y al sector esférico.

Si los resultados obtenidos en este Libro I fueron el mayor motivo de orgullo para Arquímedes —recuérdese que pidió que fueran inscritos en su tumba—, lo que más admiración despierta entre los matemáticos es el elevado grado de generalización que alcanza en los axiomas.

En el Libro II encontramos seis problemas —las proposiciones 1, 3, 4, 5, 6 y 7— y tres teoremas —las proposiciones 2, 8 y 9—. En los teoremas estudia el volumen del casquete esférico (prop. 2) y la aproximación a la razón en volumen de los casquetes cortados en una esfera mediante un plano que no pase por el centro (prop. 8) y demuestra que, a igualdad de superficie, el hemisferio es el mayor de los segmentos posibles en la esfera (prop. 9). En cuanto a los problemas, la prop. 1 tiene por objeto construir una esfera igual a un cono o un cilindro dado, y las restantes se ocupan de la obtención de casquetes esféricos que cumplan de...

Índice

• Anteportada
• Portada
• Página de derechos de autor
• INTRODUCCIÓN GENERAL
• ARQUÍMEDES: SOBRE LA ESFERA Y EL CILINDRO
• EUTOCIO: EL PROBLEMA DÉLICO (DEL COMENTARIO AL LIBRO II DE «SOBRE LA ESFERA Y EL CILINDRO»)
• Índice