La Démographie

Hervé Le Bras

• Editorial: Odile Jacob
• Año: 2005
• ISBN:
  9782738183262
• Categoría: Social Sciences
• Categoría: Demography

La démographie sert de baromètre à la nation. Quand la fécondité diminue, on craint le déclin, voire la disparition; quand la mortalité augmente, on fustige l'État incapable d'assurer la santé publique; quand le divorce progresse, on brandit le spectre d'une disparition de la famille. Comment marche ce baromètre? Et peut-on lui faire confiance? Hervé Le Bras nous introduit dans l'atelier du démographe et nous initie à ses secrets de fabrication. Chaque pièce de l'instrument est démontée, étudiée et testée selon des procédures rigoureuses, chaque indice et chaque théorie de la démographie sont scannés et soumis à des expériences incontestables. Une initiation sans concession à la plus précise des sciences sociales; un manuel détaillé d'utilisation pour déjouer les faux diagnostics. Hervé Le Bras, directeur d'études à l'école des hautes études en sciences sociales et directeur de recherche à l'Institut national d'études démographiques, a notamment publié Les Trois France, Essai de géométrie sociale et Une autre France.

Première partie

Individus

Chapitre premier

Mortalité

N’importe quel groupe d’objets, d’organismes vivants ou d’humains se défait en perdant progressivement ses membres. Les maisons existant une année donnée sont ultérieurement détruites par un incendie, par un écroulement, par des rénovations, les voitures sorties d’usine un mois donné disparaissent par accident, par usure, par obsolescence. Les humains nés une année donnée ou présents en un lieu à une date fixée ne font pas exception. La mort réduit leur effectif jour après jour. Étudier la mortalité, c’est formaliser, normaliser, résumer cette évolution inéluctable. Non pas seulement par souci de description, et de connaissance générale, mais aussi pour comparer entre elles les évolutions de groupes différents et pour en tirer des enseignements généraux qui aident à prévoir le destin ultérieur d’un groupe engagé dans le processus de sa dissolution.

On commencera par le cas le plus évident où l’on a suivi un groupe jusqu’à son extinction, jusqu’à la disparition du dernier de ses membres. On montrera comment la connaissance de chaque durée de vie ou de présence est résumée par une table de mortalité constituée de trois distributions, la survie ou proportion de membres encore présents après une durée t, la répartition des décès ou départs selon la durée écoulée et enfin les risques de disparition ou de mort à chaque instant. La construction des tables de mortalité met en évidence des permanences structurelles sous forme de lois mathématiques de mortalité ou de régularités statistiques qui sont utilisées les unes et les autres pour déterminer la structure de la mortalité en cas d’observation partielle des décès ou des départs. Une fois connue, la mortalité d’un groupe permet d’engager des opérations de fiabilité et d’actuariat : assurances-vie, rentes viagères, durabilité d’un produit.

Courbe de survie

L’information la plus complète sur la dissolution d’un groupe est constituée par la liste des durées de vie (ou de séjour) des individus depuis leur entrée dans le groupe. Par exemple, dans un groupe de 9 personnes d’un âge élevé, les durées de vie observées pour chacun ont été de 66, 49, 80, 22, 52, 56, 111, 28, 70 mois respectivement. Pour y voir plus clair, on commence par mettre en ordre ces durées en les représentant d’une manière assez particulière : on assimile chaque durée à un segment qui a pour longueur la durée considérée et l’on empile régulièrement les segments les uns sur les autres à partir du plus long en alignant leurs extrémités à gauche où le point de départ commun est la date de début d’observation du groupe (figure 1). La limite supérieure du tas des segments fournit par simple lecture en ordonnée le nombre de personnes qui survivent à toute durée donnée. Elle est nommée fonction de survie et non simplement « courbe des survivants ». Il ne s’agit pas d’une coquetterie de vocabulaire ni d’un archaïsme de langage, mais d’exprimer une propriété très générale que deux statisticiens, Kaplan et Meier, ont mise en évidence en 1958.

Estimation de la fonction de survie par la méthode de Kaplan-Meier

Il existe deux manières de considérer la mortalité d’un groupe de personnes (on le qualifiera souvent de cohorte pour insister sur le suivi au cours du temps ou observation longitudinale). Soit ce groupe représente une expérience unique dans l’histoire et la figure 1 suffit à décrire la situation, soit ce groupe est un groupe parmi beaucoup d’autres possibles qui auraient pu vivre ou ont vécu une expérience similaire sans que l’on enregistre les décès. Alors, la courbe de survie est un moyen d’approcher ou plus exactement d’estimer la loi de répartition des décès au sein de ces groupes. La mortalité n’est plus connue seulement aux dates exactes de décès observés pour les membres du groupe, elle est définie pour toute durée t, donc par une courbe continue, celle de la survie du groupe car les 9 durées de l’exemple ne sont pas les seules durées de vie possibles dans les autres groupes, même si la mortalité y est semblable.

Figure 1 : Durées de vie de 9 personnes d’un groupe dont l’observation a commencé au temps t = 0 et s’est poursuivie jusqu’au dernier décès.

Kaplan et Meier ont résolu ce problème en établissant une propriété fondamentale : la courbe de survie en escalier de la figure 1 est la plus vraisemblable de toutes les courbes ou lois possibles que l’on pourrait définir à partir des durées individuelles des décès. Plus exactement, à chaque âge, la valeur de la survie indiquée par la courbe est la plus vraisemblable possible étant donné l’échantillon observé. On dit qu’elle correspond au « maximum de vraisemblance ». On le démontre facilement :

Soit S(t) la probabilité de survivre jusqu’à la durée t. La probabilité d’observer l’échantillon tel qu’on l’a observé est de L = S(t)^n(t) (1 – S(t))^{(N – n(t))} où N est le nombre de personnes au départ et n(t) celles qui sont encore en vie au temps t1. Le maximum de vraisemblance est la valeur de S(t) qui rend maximale cette probabilité L de l’échantillon. Pour l’obtenir, on égale à zéro la dérivée de L (ou plutôt, ce qui revient au même, son logarithme) selon S(t)

∂log(L)/∂S(t) = n(t)/S(t) – (N – n(t))/(1 – S(t))

d’où :

S(t) = n(t)/N

On retrouve ainsi le résultat classique de la loi binomiale, mais il est ici plus intéressant car il vaut quel que soit le temps t considéré. Une telle propriété peut paraître évidente – pourquoi certains décès auraient-ils plus d’importance que d’autres – mais elle est en fait étrange : on est tenté au prime abord de choisir une fonction de survie plus arrondie que la forme anguleuse en escalier de la figure 1 car il semble raisonnable que les chances de survie décroissent assez régulièrement et non par paliers brutaux. Ce serait remettre en cause la construction rationnelle de la statistique non paramétrique qui ne considère que les cas observés et ne laisse pas de place aux préconceptions dont traite en revanche la statistique paramétrique, notamment l’existence de lois a priori auxquelles les observations se plient. Pour éviter la fonction en escalier, on serait alors tenté de revenir au relativisme pour lequel la mortalité de chaque groupe est unique et uniquement décrite par la liste des durées de vie des membres du groupe. Ce serait renoncer à comparer la mortalité de deux groupes différents, à suivre l’évolution au cours du temps de la mortalité d’un certain type de populations (par exemple, les cohortes de naissances d’années successives) et, comme on le verra dans un instant, à calculer des risques instantanés de mortalité.

Le postulat d’une fonction de survie fonde un homo demographicus en forme d’homme probabiliste, soumis uniquement à des probabilités diverses, ici de mourir, plus loin de donner naissance, de migrer, de se marier ou de divorcer. Les individus dont on a représenté les durées de vie sur la figure 1 sont dans leur identité à nul autre pareil et, en même temps, une réalisation parmi d’autres d’un processus probabiliste dont la construction va être précisée en définissant des risques ou quotients de mortalité.

Durées moyennes et espérances de vie

On peut résumer l’ensemble des durées de vie par un seul indice. Dans le cas de la figure 1, le plus simple est de prendre la moyenne des durées de vie, c’est-à-dire de diviser la somme totale des durées par le nombre des individus. Si le groupe de personnes est suivi depuis la naissance, cette moyenne s’appelle l’âge moyen au décès. Le cas de la fonction de survie est plus intéressant. On voit immédiatement que la somme des durées de vie représente la surface comprise entre la fonction de survie et les deux axes, divisée par la longueur choisie pour la base (c’est-à-dire pour la survie au départ à la durée 0). Toutes les méthodes d’approximation des surfaces planes (calcul des intégrales définies) peuvent être utilisées à cet effet. Les approximations que l’on trouve dans la littérature technique se ramènent toutes à l’estimation de cette surface2. La différence entre cette nouvelle valeur appelée espérance de vie longitudinale (et espérance de vie à la naissance quand le début de l’observation se situe à la naissance) est la même qu’entre une moyenne empirique et une espérance mathématique. La fonction de survie n’est plus une juxtaposition de durées de vie mais une loi définie à chaque âge dont l’échantillon observé n’est qu’une des multiples réalisations possibles.

La valeur de la survie à l’origine est appelée « racine de la table de mortalité ». Ici, on l’a choisie égale à 1 car on a utilisé la fonction de survie comme une probabilité évoluant au cours du temps, mais on aurait pu garder comme échelle le nombre d’individus initiaux, soit 9. On trouve souvent des racines correspondant à un nombre rond d’individus, 1 000, 10 000 ou 100 000. N’importe quelle population nombreuse qui suit la loi de mortalité définie par ...