Enseigner la géométrie élémentaire

Enjeux, ruptures et continuités

Anne-Cécile Mathé, Marie-Jeanne Perrin-Glorian, Thomas Barrier

• Éditeur: Academia
• Année: 2020
• ISBN:
  9782806123107
• Sujet: Education
• Sous-sujet: Education Teaching Methods

L'enseignement de la géométrie est une difficulté de la profession. Nombre d'enseignants se trouvent démunis et peinent à en identifier les enjeux. Voici une synthèse de travaux de recherche en didactique de la géométrie à destination d'un public large (enseignants, étudiants, chercheurs...). Pourquoi enseigner la géométrie? Quels contenus? Comment faire en sorte que la rupture entre la géométrie du primaire et celle du secondaire ne se constitue pas en obstacle infranchissable pour les élèves?

PARTIE 1

Des enjeux de l’enseignement
de la géométrie élémentaire

CHAPITRE

Qu’entend-on par géométrie à l’école ?

---

1 | Quelles finalités po de la géométrie ?

La géométrie a été vue au cours des siècles comme le lieu privilégié d’apprentissage du raisonnement logique et de la démonstration. Elle fut longtemps emblématique des mathématiques elles-mêmes. De nos jours, ce qu’on appelle géométrie dans la recherche en mathématiques est bien loin de la géométrie élémentaire enseignée, à l’école primaire comme à l’école secondaire. Au lycée, le raisonnement, la démonstration réfèrent autant à d’autres domaines mathématiques comme l’analyse ou l’algorithmique. La question de la nécessité d’enseigner la géométrie dans la scolarité obligatoire et surtout de ce qu’il est pertinent d’y enseigner en géométrie peut donc se poser.

La géométrie est un moyen de représenter, modéliser et traiter des problèmes de l’espace. Une certaine appréhension géométrique du monde, indispensable dans certaines professions, est utile à tout le monde dans la vie quotidienne. En disant cela, c’est principalement au modèle de la géométrie euclidienne que nous pensons et c’est à cette seule géométrie que nous réfèrerons d’un point de vue théorique dans cet ouvrage alors qu’il en existe beaucoup d’autres suivant l’axiomatique1 retenue et le champ de problèmes considéré. Le rapport de la commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques qui a travaillé en France au début des années 2000 (Kahane, 2002) mettait en avant plusieurs raisons d’enseigner la géométrie. Pour notre part, nous en retenons trois qui correspondent à des enjeux différents. La géométrie fournit :

– un moyen d’entrer dans le raisonnement mathématique et la démonstration à travers des problèmes accessibles assez tôt dans la scolarité et non algorithmisables ;

– un cadre théorique pour résoudre des problèmes concrets qui se posent dans l’espace sensible ;

– un moyen de représentation pour d’autres champs de savoir, y compris à l’intérieur des mathématiques, permettant de transférer dans ces autres champs des intuitions issues de notre rapport à l’espace, notamment par l’intermédiaire de diverses représentations graphiques.

---

2 | Qu’appelle-t-on géométrie à l’école ? Évolution et cohérence au cours de la scolarité

Quand nous parlons ici d’école, nous pensons à la scolarité des enfants de 6 à 15 ans, soit le primaire et le premier cycle du secondaire. Quels enjeux d’enseignement se cachent sous le terme « géométrie » à ces niveaux ? Il nous faut d’abord distinguer dans cet enseignement trois rubriques, que nous traiterons inégalement : le repérage et l’orientation dans l’espace ; l’étude des objets de l’espace à 3 dimensions ; la géométrie plane. Dans la suite de l’ouvrage, nous nous intéresserons surtout à la géométrie plane mais les autres enjeux, qui ne seront évoqués que par ricochet, ne doivent pas être perdus de vue quand on s’intéresse à la géométrie dans la scolarité obligatoire.

De plus, dans chacune de ces rubriques, et notamment en ce qui concerne la géométrie plane, le terme géométrie ne peut pas signifier les mêmes pratiques au début du primaire et à la fin du premier cycle du secondaire. En effet, si on se place au début du primaire, vers 6 ans, l’activité géométrique est essentiellement tournée vers la perception directe des objets de l’espace et des effets des déplacements qu’on leur fait subir pour décrire ou reproduire des formes, des positions, des déplacements. Au cours du primaire, des instruments sont progressivement introduits pour outiller la perception et donner des moyens plus précis et plus sûrs de le faire. Au début du secondaire, on introduit des objets idéaux, théoriques, pour représenter les objets de l’espace. On suppose à ces objets certaines propriétés et c’est à partir de ces propriétés et d’hypothèses explicites qu’il faut raisonner pour démontrer de nouvelles propriétés.

Peut-on néanmoins organiser une progression cohérente de la géométrie élémentaire pour les élèves sur toute la scolarité obligatoire ? La cohérence de cet enseignement ne peut être assurée sans une axiomatique sous-jacente qui reste en presque totalité implicite pour les élèves, mais dont devraient disposer au moins les enseignants du secondaire qui ont en charge l’introduction d’une géométrie théorique qui valide les propositions par la démonstration. Ceci est nécessaire pour qu’ils se sentent légitimes et assurés de la validité de ce qu’ils enseignent. Il existe plusieurs systèmes d’axiomes pour décrire la géométrie euclidienne. Ces systèmes, quels qu’ils soient, permettent de rendre compte des problèmes qui se posent dans l’espace sensible parce que les axiomes n’ont pas été choisis n’importe comment. Cependant, l’axiomatique sous-jacente n’est pas indifférente si l’on veut atteindre les trois objectifs mentionnés plus haut et si l’on veut penser la cohérence et la continuité de l’enseignement de la géométrie sur toute la scolarité obligatoire.

En effet, si l’on veut assurer une certaine cohérence à l’enseignement de la géométrie sur toute la scolarité obligatoire, l’axiomatique qui fonde la géométrie dans le secondaire devrait s’appuyer sur le travail avec les instruments réalisé en primaire : le modèle théorique devrait permettre de prévoir avant de réaliser l’expérience, voire d’être sûr sans la réaliser. Or, le modèle de l’espace affine euclidien enseigné à l’université ne permet pas de fonder un enseignement appuyé sur l’espace sensible et l’usage d’instruments parce qu’il demande de prendre comme objets premiers les points et les vecteurs et des relations entre eux qui ne découlent pas de la perception spontanée de l’espace. Ce modèle, pour performant qu’il soit pour la suite des études, ne peut pas aider les enseignants qui doivent dans leur quotidien gérer les rapports conflictuels de leurs élèves entre raisonnement appuyé sur la perception de l’espace sensible, éventuellement aidée d’instruments, et raisonnement dans le modèle théorique de cet espace. Une des premières questions auxquelles nous essayerons de répondre est donc celle du choix d’axiomes implicites pour les élèves mais explicites pour les enseignants sur lesquels appuyer la cohérence de la géométrie enseignée dans la scolarité obligatoire.

---

3 | Géométrie du primaire / géométrie du secondaire : ruptures et continuités

Beaucoup de recherches sur l’enseignement de la géométrie ont pointé la rupture au début du secondaire entre une géométrie des tracés matériels (sur papier ou sur écran) avec des instruments et une géométrie théorique des énoncés et démonstrations. Cette rupture tient notamment au mode de validation des énoncés, perception aidée d’instruments de tracé ou de mesure portant sur des objets matériels ou graphiques dans le premier cas, discours logique à partir d’énoncés décrivant des propriétés d’objets théoriques ou de relations entre ces objets dans le second cas.

Par ailleurs, les mêmes mots désignant des objets géométriques réfèrent à des significations qui évoluent au fil des années y compris au cours du primaire. Prenons l’exemple du rectangle. En fin de maternelle, on reconnaît un rectangle en s’appuyant sur la perception visuelle et tactile (qu’il est important de développer à ce niveau) d’objets matériels qu’on peut manipuler. En milieu de primaire, on justifie en contrôlant les angles droits avec l’équerre et les longueurs avec la règle graduée. On apprend à le construire et on découvre de nouvelles propriétés par exemple sur les diagonales ou l’inscription dans un cercle. En fin de collège, l’objet rectangle est défini à partir de propriétés et on peut donner différentes conditions nécessaires et suffisantes qui le caractérisent. Ainsi le rectangle devient un parallélogramme particulier et le carré un rectangle particulier.

Derrière la continuité des mots et des actions matérielles sur les figures, il y a une rupture dans les significations et les modes de validation. Comment la gérer dans l’enseignement ? La validation par les instruments de géométrie (règle, équerre, compas), valorisée en primaire, peut-elle jouer un rôle positif dans l’accès à la validation par la démonstration ? Comment reconnaît-on qu’on est entré dans le modèle théorique de la géométrie dans le cas où le problème de d...

Table des matières

• Couverture
• 4e de couverture
• Les sciences de l'éducation aujourd'hui
• Titre
• Copyright
• Remerciements
• Introduction
• PARTIE 1 – Des enjeux de l’enseignement de la géométrie élémentaire
• PARTIE 2 – Des situations d’apprentissage
• Références
• Table des matières