Vous marchez le long de la côte bretonne: vous suivez une courbe fractale de longueur infinie! Vous utilisez un appareil GPS: vous faites de la relativité restreinte et générale! Vous prenez l'avion: il part vers le nord, alors que vous allez à l'ouest! Vous invitez vingt-cinq amis: deux d'entre eux ont la même date d'anniversaire! Vous voyez le pendule de Foucault au Panthéon: il vous fait tourner autour de lui! Vous jouez une gamme au piano: vous sautez d'un nombre rationnel à un autre! Tout ce que vous devez savoir sur le nombre d'or, les nombres parfaits et amicaux, sur la quadrature du cercle et les courbes fractales, sur la vitesse de la lumière et les trous noirs, le théorème de Gödel et la relation d'incertitude, E = mc2 et le chaos… Ce livre est une invitation au voyage dans un monde mathématique et physique finalement si proche de notre quotidien. Alexandre Moatti, ancien élève de l'École polytechnique, est ingénieur en chef du corps des Mines. Il est le concepteur du portail scientifique www.science. gouv. fr.
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On raconte que Pythagore, célèbre pour son théorème du triangle rectangle (« le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés »), ne put admettre la découverte par un de ses disciples de l’existence de nombres irrationnels : celui-ci avait trouvé de manière simple un nombre irrationnel,
, égal à la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1, par application directe du théorème de son maître !
Qu’est-ce qu’un nombre rationnel ?
Un nombre rationnel est un nombre qui s’écrit sous la forme d’une fraction
, où a et b sont entiers.
• Il peut avoir un nombre fini de chiffres après la virgule, par exemple
= 0,5.
• Il peut aussi avoir un nombre infini de chiffres après la virgule, par exemple
= 0,16666…
• Tout nombre rationnel a un développement décimal périodique (soit un nombre de chiffres fini, soit un nombre de chiffres infini avec un motif périodique à partir d’un certain rang ; par exemple
= 0,857142857142857142…) ; réciproquement, tout nombre ayant un développement décimal périodique à partir d’un certain rang est rationnel.
• La fraction selon laquelle s’exprime un nombre rationnel peut être simplifiée au maximum, par exemple
, cette dernière étant la forme « irréductible ».
Exprimons à présent un nombre rationnel sous sa forme irréductible
; le fait que cette fraction ne peut être simplifiée signifie que les deux nombres entiers a et b sont « premiers entre eux », c’est-à-dire qu’ils n’ont aucun diviseur commun.
Deux nombres « premiers entre eux » ne sont pas forcément tous les deux des nombres premiers :
• 5 et 3 sont tous les deux des nombres premiers, ils sont donc premiers entre eux.
• 9 et 20 ne sont ni l’un ni l’autre premiers, et pourtant ils sont « premiers entre eux » ; ils n’ont pas de diviseur commun autre que 1 ; la fraction
ne peut être simplifiée.
La diagonale du carré,
, est un nombre irrationnel1
On illustre ici une des plus intéressantes démarches mathématiques, « le raisonnement par l’absurde » : on va supposer que
est un nombre rationnel, et arriver à un résultat absurde ou impossible. On aura ainsi démontré que
est un nombre irrationnel, c’est-à-dire non rationnel.
On suppose que
est rationnel, soit
, où a et b sont des nombres entiers, premiers entre eux (forme irréductible de la fraction). On élève cette équation au carré. Cela donne a2 = 2 × b2, donc a2 est pair.
Le fait que a2 est pair nous permet de déduire que a est pair pour la raison suivante :
• Le carré d’un nombre pair a = 2 × c s’écrit a2 = 4 × c2, il est divisible par 4 donc pair.
• Le carré d’un nombre impair a = 2 × c + 1 s’écrit a2 = 4 × c2 + 4 × c + 1, il est donc impair.
• Le carré d’un nombre pair est toujours pair, le carré d’un nombre impair est toujours impair.
Comme a est pair, on écrit a = 2 × c et l’identité initiale
devient
, ce qui peut s’écrire
.
• On élève comme ci-dessus cette équation au carré, on a b2 = 2 × c2 ; b est donc pair.
• Or il est impossible que a et b soient pairs tous les deux, car dans ce cas la forme initiale
pourrait être simplifiée : on aboutit donc à un résultat impossible.
• Le postulat de base
, avec a et b premiers entre eux, est faux, donc
...
Table des matières
Couverture
Titre
Du même auteur chez Odile Jacob
Copyright
Dédicace
Préface
Avant-propos
Chapitre 1 - Pythagore et les nombres irrationnels
Chapitre 2 - L’hôtel de Hilbert l’infini et le transfini
Chapitre 3 - Le raisonnement par récurrence suites infinies finies
Chapitre 4 - Densité des nombres premiers
Chapitre 5 - Des nombres parfaits et amicaux
Chapitre 6 - Pythagore, Descartes, Euler, des constructions géométriques
Chapitre 7 - π, un nombre vraiment transcendant !
Chapitre 8 - Vivons-nous dans une géométrie euclidienne ?
Chapitre 9 - Limites de la logique le théorème de Gödel
Chapitre 10 - Incertaines probabilités
Chapitre 11 - Du pendule au gyroscope : voir tourner la Terre
Chapitre 12 - Le son, une onde aux bonnes vibrations
Chapitre 13 - Vitesse et nature de la lumière : 250 ans de Römer (1676) à de Broglie (1926)
Chapitre 14 - Quelques notions de relativité restreinte
Chapitre 15 - Preuves expérimentales et applications de la relativité
Chapitre 16 - Et si Dieu existe, qui l’a créé, lui ?
Chapitre 17 - De la main de Mme Röntgen à la fission nucléaire
Chapitre 18 - La discontinuité quantique
Chapitre 19 - Physique quantique, vérification et paradoxes
Chapitre 20 - Les fractales de Mandelbrot
Chapitre 21 - Le chaos déterministe
Bibliographie
Index des principaux noms cités (par ordre chronologique)
