Teoria spettrale

Simone Malacrida

• Editore: Simone Malacrida
• Anno: 2016
• ISBN:
  9781523609536
• Argomento: Mathématiques
• Categoria: Analyse fonctionnelle

In questo libro sono presentati i seguenti argomenti:
concetti di base di analisi funzionale operatoriale
teorema spettrale e misure spettrali
teorema di Stone e applicazioni fisiche

I

CONCETTI DI BASE

Introduciamo in questo capitolo alcuni elementi basilari per la comprensione della teoria spettrale.

Come già detto, si danno per scontati alcuni concetti di analisi funzionale, di topologia e di analisi matematica, mentre altri saranno richiamati in questi paragrafi introduttivi.

Definizioni

Sia H uno spazio di Hilbert. Nel seguito supporremo sempre che H sia uno spazio complesso.

Consideriamo il prodotto scalare e lo spazio degli operatori lineari continui su H.

Dato un operatore A appartenente a tale spazio, diremo che un numero complesso appartiene all’insieme risolvente di A se esiste un altro operatore B appartenente al medesimo spazio tale per cui:

Dove I indica l’operatore identità.

Ciò equivale a richiedere che:

Sia una funzione biiettiva di H in sé, con B la sua funzione inversa (lineare e continua).

L’insieme dei numeri complessi che non appartengono all’insieme risolvente di A si chiama spettro di A e si indica con la lettera greca sigma.

L’insieme di tutti gli operatori B definiti al variare del numero complesso all’interno dell’insieme risolvente si dice famiglia risolvente di A.

Dato un operatore appartenente ad uno spazio di operatori lineari e continui su uno spazio di Hilbert, si dimostra che:

- lo spettro di A è un sottoinsieme non vuoto, chiuso e limitato del piano complesso.

- la funzione qui di seguito è analitica all’interno della famiglia risolvente di A

- definito il raggio spettrale come:

Vale la seguente formula:

Per ogni operatore lineare e continuo si può definire il suo aggiunto (anch’esso lineare e continuo) tale per cui:

Se A coincide con il suo aggiunto, allora l’operatore si dice autoaggiunto.

Per un operatore autoaggiunto, il raggio spettrale coincide con la norma.

Una conseguenza di ciò è che la norma di un operatore lineare e continuo è data da:

Un operatore lineare e continuo si dice unitario se possiede un inverso che è uguale al suo aggiunto.

Per gli operatori unitari valgono le seguenti proprietà:

Un operatore lineare e continuo si dice proiezione ortogonale è uguale al suo quadrato e al suo aggiunto.

Una forma hermitiana su H è una funzione B che ad ogni coppia di vettori appartenenti allo spazio di Hilbert associa un numero complesso.

Tale funzione ha le seguenti proprietà:

Una forma hermitiana si dice limitata se esiste una costante M tale pe...

Indice dei contenuti

• Copertina
• Teoria spettrale
• Indice dei contenuti
• INDICE ANALITICO
• INTRODUZIONE
• I
• II
• III