Analisi numerica

Simone Malacrida

• Editore: Simone Malacrida
• Anno: 2016
• ISBN:
  9781523624690
• Argomento: Matematica
• Categoria: Analisi matematica

In questo libro è esposta la teoria dell'analisi numerica:
calcolo numerico elementare
interpolazione di funzioni
metodo delle differenze finite
metodo degli elementi finiti

II

ANALISI NUMERICA

Introduzione

L’analisi numerica costituisce un settore della matematica complementare a tutto il resto.

L’importanza di tale analisi tocca aspetti di algebra, di matematica matriciale, di analisi matematica, di equazioni differenziali e di molti problemi matematici.

L’avvento dei computer ha poi dato un grande impulso a tale settore, soprattutto per l’immane potenza di calcolo disponibile e i risultati conseguenti, che ormai spaziano in ogni campo applicativo.

Interpolazione di funzioni

Una prima classe di metodi numerici è quella relativa all’interpolazione e all’estrapolazione di funzioni, seguendo una procedura di discretizzazione che caratterizza il passaggio dal continuo dell’analisi matematica al discreto dell’analisi numerica.

L’estrapolazione lineare di un dato punto, rispetto ai suoi vicini, è dato dalla seguente relazione:

Tale estrapolazione è fondamentale per le applicazioni della regressione lineare.

Un’idea alla base dell’interpolazione polinomiale è quella di esprimere qualunque funzione come approssimazione di polinomi di ordine elevato.

Tale idea è però controindicata in base al fenomeno di Runge, il quale dimostra come, in taluni casi, l’errore di interpolazione lineare tende all’infinito.

Un primo metodo per ridurre tale errore, all’aumentare del grado di polinomio, è quello di utilizzare i nodi di Cebichev al posto di punti equidistanti per l’interpolazione.

Tali nodi sono così definiti:

Dove n è il grado del polinomio e i è un numero intero compreso tra 1 e n.

Questi punti sono le radici dei polinomi di Cebichev:

Questi polinomi sono le soluzioni dell’equazione differenziale di Cebichev:

Un altro modo per ridurre l’errore di interpolazione polinomiale è quello di usare delle funzioni spline.

Queste funzioni sono costituite da insiemi di polinomi raccordati tra di loro di modo che, in un dato intervallo, siano continue con derivate continue, almeno fino ad un certo ordine di derivazione.

I punti di raccordo tra i polinomi sono detti nodi di spline e l’interpolazione polinomiale con funzioni spline è detta interpolazione spline.

Tramite tale meccanismo non si presenta il fenomeno di Runge.

Definizioni

Diamo di seguito alcune definizioni che torneranno utili in tutta l’analisi numerica.

Si dice stabilità numerica una proprietà che garantisce la limitatezza dell’errore, ma nel contempo la non cancellazione dell’errore medesimo.

In altre parole, un algoritmo numerico sarà stabile se il suo errore di approssimazione rispetto al caso reale è un numero limitato o un infinitesimo, ma non zero.

Se tale errore diventa zero, si assiste al fenomeno della cancellazione numerica.

Il condizionamento è una misura del rapporto tra errore commesso e incertezza dei dati.

Un problema è ben condizionato quando la soluzione, sotto piccole perturbazioni, non varia molto rispetto alla soluzione del problema originale.

Viceversa, il problema è mal condizionato.

Esempi di condizionamento dei problemi numerici sono dati dal calcolo numerico delle radici...

Indice dei contenuti

• Copertina
• Analisi numerica
• Indice dei contenuti
• INDICE ANALITICO
• INTRODUZIONE
• I
• II