In questo libro sono presentati i seguenti argomenti di fisica di base: relatività galileiana crisi della fisica classica teoria della relatività ristretta teoria della relatività generale astrofisica e cosmologia relativistica tentativi di unificazione e questioni aperte
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In particolare, un tensore del secondo ordine è antisimmetrico se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.
Per un tensore antisimmetrico, i valori sulla diagonale principale della matrice associata sono tutti nulli.
Un campo tensoriale è ottenuto associando ad ogni punto di una varietà differenziabile, un tensore definito sullo spazio tangente nel punto.
Le coordinate del tensore espresse in una carta devono variare in modo differenziabile mentre le componenti di un campo tensoriale rispetto a carte diverse sono collegate da leggi di trasformazione espresse in derivate parziali delle funzioni coordinate.
Le forme differenziali sono campi tensoriali in cui il tensore associato è antisimmetrico di ordine (k,0).
Una forma differenziale di tale ordine può essere integrata su una sottovarietà di dimensione k.
Un tensore di ordine (0,0) è uno scalare, uno di ordine (0,1) è un vettore, uno di ordine (1,0) è un covettore.
Un tensore (0,2) è detto bivettore mentre uno (2,0) è una forma bilineare.
Un tensore (3,0) è una forma trilineare, come lo è il prodotto misto.
Un tensore (2,1) definisce il prodotto vettoriale nello spazio euclideo tridimensionale.
Definiamo delta di Kronecker un tensore di ordine (1,1) che rappresenta l’identità:
Il tensore di Levi-Civita è un tensore di ordine (n,0) e coincide con il determinante valutato sulle colonne di una matrice quadrata:
Il valore +1 si ha se gli indici sono permutazioni pari, -1 se sono permutazioni dispari, 0 se almeno due indici coincidono.
In tre dimensioni il simbolo di Levi-Civita si può usare per generalizzare il prodotto vettoriale:
Valgono le seguenti relazioni con il delta di Kronecker:
Due tensori possono essere moltiplicati dando origine ad un tensore di ordine pari alla somma degli ordini.
Tale operazione è detta prodotto tra tensori si indica con:
Se T ha ordine (h,k) e U ordine (q,p), R ha ordine (h+q,k+p).
Valgono le seguenti regole per tensori covarianti, controvarianti e misti:
Si chiama prodotto interno un’operazione che moltiplica due tensori e poi ne fa la contrazione.
Ciò è possibile solo se il tensore prodotto è misto:
Se vi sono due tensori del secondo ordine, definiamo prodotto misto quel prodotto pari al prodotto interno per due indici e alla contrazione per gli altri due indici:
La derivata covariante di un tensore di ordine (h,k) è un tensore di ordine (h,k+1).
Se consideriamo i tensori (1,0) la derivata covariante di un tensore coincide con la derivata covariante dei vettori.
Valgono le seguenti proprietà, avendo indicato la derivata covariante con la notazione del nabla:
Una carta è un diffeomorfismo tra due aperti, uno dei quali in uno spazio euclideo n-dimensionale.
In tale aperto sono definiti i campi di vettori coordinati costanti, dunque tutti i tensori possono essere scritti in tale coordinate.
In particolare, la derivata covariante in una direzione j qualunque è una combinazione lineare data da:
Dove
sono delle funzioni lisce dipendenti da tre parametri e sono dette simboli di Christoffel e non sono dei tensori.
La derivata covariante di un campo tensoriale di ordine (2,0) è data da:
La differenza tra due simboli di Christoffel è un tensore che è la torsione della connessione:
Una connessione ha torsione nulla se e solo se i simboli di Christoffel sono simmetrici rispetto agli indici posti in basso.
Chiamiamo derivata tensoriale di un tensore covariante del secondo ordine la seguente espressione:
Utilizzando i simboli d...
Indice dei contenuti
Copertina
Fisica: teoria della relatività
Indice dei contenuti
INDICE ANALITICO
INTRODUZIONE
I
II
III
IV
In particolare, un tensore del secondo ordine è simmetrico se e solo se la matrice associata è simmetrica.
In particolare, un tensore del secondo ordine è antisimmetrico se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.
