La costruzione del continuo

Lario Sinigaglia

• Editore: Youcanprint
• Anno: 2018
• Print ISBN:
  9788827808177
• eBook ISBN:
  9788827815724
• Argomento: Philosophy
• Categoria: Philosophy History & Theory

La natura del 'continuo' è un problema di singolare profondità del quale si sono occupati filosofi e matematici per più di due millenni. Il problema è astratto ma riguarda situazioni concrete e probabilmente è connesso con la natura profonda dell'operatività della mente umana. L'autore giunge alla conclusione che il continuo non è rinvenibile in ciò che esiste, ma consiste nella sintesi tra ciò che esiste e le sue potenzialità non manifestate, utilizzando esempi concreti ed astratti.

LA RICOSTITUZIONE DELL’INTERO - CAP. III

La logica delle proposizioni: la negazione

Dicono in val Gardena: “quando il Sasso Lungo ha il cappello o che piove o che fa bello”. La frase detta nel dialetto locale colpisce i turisti, che ne tengono conto, per la sua profondità. Infatti è una frase sempre vera. E persino quando il Sasso Lungo (una cima delle Dolomiti) non ha il cappello (una nuvola sulla cima) “o che piove o che fa bello”.

In altre parole la frase “piove o non piove (cioè fa bello)” è vera sempre ma è anche poco informativa sia per il passato che per il presente o il futuro. Le frasi di questo tipo, che sono sempre vere senza che occorra verificare i fatti, si chiamano tautologie.

“Piove e non piove” (contemporaneamente e non alternativamente) è invece una frase sempre falsa, anche senza verifica dei fatti, e si chiama contraddizione.

Questo tipo di frase, la contraddizione, è però molto più interessante dell’altra, la tautologia, se solo si riflette sul fatto che “piove” può essere una frase vera (se piove) solo se può essere una frase falsa (se non piove).

Se coniughiamo i verbi al futuro il concetto appare più chiaro.

“Pioverà e non pioverà” è sempre una contraddizione, ma dal momento che al presente non si sa se pioverà o se non pioverà, ciascuna delle due affermazioni che compongono la frase è, al presente, vera e falsa e quindi la negazione ci consente di rappresentare un significato completo.

Osserviamo che ci sono fatti sui quali sono possibili opinioni opposte, basta pensare alla politica, e quindi la contraddizione effettivamente rappresenta la totalità dei punti di vista.

Segnalo che qui e nel seguito useremo per la sua semplicità la logica classica che ha solo due valori: vero e falso; ma ci sono logiche che hanno un maggior numero di valori (tre o più).

La teoria degli insiemi

L’insieme è un recinto mentale in cui raggruppiamo individui. Le regole sono minime e proprio per questo la teoria è molto generale, forse è la base della razionalità.

Possiamo raggruppare individui di qualsiasi tipo: il tipo degli individui è la descrizione dell’insieme.

Gli individui devono essere distinguibili l’uno dall’altro e due individui indistinguibili sono, per la teoria, lo stesso individuo.

Il recinto è limitato da due parentesi graffe, per convenzione; due insiemi che contengono gli stessi individui sono uguali, cioè sono lo stesso insieme; non ha importanza l’ordine degli individui.

Supponiamo di avere una ragione per raggruppare in un insieme tre individui.

(Il nome degli individui è una lettera dell’alfabeto minuscola, mentre il nome dell’insieme è una lettera maiuscola)

‘A’ è l’insieme {a, b, c}: in quanti modi possiamo raggruppare gli elementi di A facendone dei sub-insiemi chiamati appunto sottoinsiemi di A?

Uno è A stesso, per convenzione.

Privando A di un elemento per volta si ottengono tre altri sottoinsiemi: {a, b}, {a, c}, {b, c}.

Privando A di due elementi per volta si ottengono tre sottoinsiemi. {a}, {b}, {c}.

(gli insiemi possono avere anche un solo elemento)

Privando A di tutti gli elementi otteniamo un insieme singolare detto ‘insieme vuoto’ il quale non è però banalmente vuoto in quanto è, per così dire, colmo di mancanze in quanto è privo di tutti gli elementi presenti in A e perciò lo chiameremo ØA oppure per esteso {Øa, Øb, Øc}.

La totalità dei sottoinsiemi di A consiste di n.8 sottoinsiemi: infatti 2ᶰ (N è il numero di elementi di A) è la formula per calcolare il numero dei sottoinsiemi di un insieme. In questo caso n=3 e infatti 2 elevato alla terza potenza è uguale ad 8.

La proprietà generale degli elementi di A vale anche per i sottoinsiemi di A e pertanto il complesso dei sottoinsiemi di A riunisce tutte le configurazioni (dette estensioni) della proprietà di A, chiamiamola P(A).

Chiediamoci: è lecito formare l’insieme di tutti i sottoinsiemi di A?

Io ritengo che non sia lecito perché un tale insieme avrebbe per elementi tanto A che ØA, cioè un elemento e la sua mancanza; quanto a dire che “conterrebbe e non conterrebbe” lo stesso elemento.

Si tratta di una contraddizione analoga a quella vista al paragrafo precedente.

Non è un caso: la contraddizione appare sempre quando ricostruiamo l’intero, cioè il c...

Indice dei contenuti

• La costruzione del continuo
• Sommario
• Frontespizio
• Copyright
• PREFAZIONE
• CAPITOLO PRIMO: IL CONTINUO
• CAPITOLO SECONDO: DESCRIZIONE ED ESIBIZIONE
• CAPITOLO TERZO: LA RICOSTRUZIONE DELL’INTERO
• CAPITOLO QUARTO: ANASSIMANDRO
• CAPITOLO QUINTO: IL CONTINUO NUMERICO
• CAPITOLO SESTO: ESISTE IL CAMPO DEI NUMERI REALI?
• CAPITOLO SETTIMO: PROPOSTE RECENTI