Il teorema vivente

La mia più grande avventura matematica

Cédric Villani

• Editore: RIZZOLI
• Anno: 2013
• ISBN:
  9788858641903
• Argomento: Tecnologia e ingegneria
• Categoria: Biografie in ambito scientifico e tecnologico

Gli occhi di Cédric Villani brillano dello scintillio quasi febbrile di chi ha trovato la sfida della vita: la dimostrazione che lo tormenta, la soluzione che gli sfugge. Insieme al suo complice Clément Mouhot la insegue per più di due anni, fino a quando, nel 2010, la medaglia Fields lo consacra nell'Olimpo dei matematici mondiali e il nuovo teorema viene accettato per la pubblicazione: cento pagine di un edificio meraviglioso costruito con le geometrie dei simboli. Questo libro è la storia di quell'avventura. Il racconto di una sfida, di viaggi e notti insonni, di ossessioni, rivalità, rivincite e ispirazioni. Villani ripercorre una caccia matematica che lo porta da Kyoto a New York, da Princeton a Hyderabad, in corsa contro il tempo e i ricercatori concorrenti. Parla dei suoi maestri Boltzmann, Poincaré e Landau, della musica che l'ha spronato, del conforto della famiglia. E di quel momento di lucida esaltazione in cui "tutto sembra concatenarsi come per incantesimo". Entriamo così nella mente di un genio capace di contagiare con il suo entusiasmo e di trasformare la matematica in un mondo abitato dalla passione, dall'avventura e dal mistero. Un universo parallelo di cui non abbiamo mai sospettato l'esistenza e che scopriamo, guidati da Cédric Villani, come affascinati esploratori. Anche se la realtà è più complessa e la ricerca non è mai finita: "Ciò che oggi scriviamo sulla lavagna" diceva il Galileo di Brecht, "domani lo cancelleremo".

Capitolo 1

Lione, 23 marzo 2008

 

Domenica, l’una del pomeriggio; il laboratorio sarebbe deserto se non fosse per due matematici indaffarati. Un incontro privato, per una giornata di lavoro in tranquillità, nell’ufficio che occupo da otto anni al terzo piano dell’École normale supérieure di Lione.

Seduto in una comoda poltrona, tamburello energicamente sulla grande scrivania, le dita aperte come le zampe di un ragno: il mio maestro di piano me lo ha insegnato tempo fa.

Alla mia sinistra, su un altro tavolo, un terminale; alla mia destra un armadio con qualche centinaio di libri di matematica e fisica; dietro di me, accuratamente ordinate su lunghi scaffali, migliaia e migliaia di pagine di articoli, fotocopie di un’epoca ancestrale, di un tempo in cui le riviste scientifiche ancora non esistevano in formato elettronico; e molte altre opere di ricerca fotocopiate invece in anni in cui lo stipendio non mi consentiva di placare la mia sete di libri. C’è anche un buon metro di bozze, meticolosamente archiviate nel corso degli anni; e altrettanti appunti scritti a mano, testimoni di innumerevoli ore passate ad ascoltare seminari di ricerca. Sulla scrivania davanti a me, Gaspard, il mio computer portatile, battezzato così in onore di Gaspard Monge, il grande matematico della Rivoluzione francese, e una pila di fogli cosparsi di simboli matematici, scarabocchiati agli otto angoli del mondo e riuniti insieme per l’occasione.

Il mio complice, Clément Mouhot, sguardo vivo e pennarello alla mano, è in piedi accanto alla lavagna bianca che occupa tutto il muro davanti a me.

«Allora, dimmi, perché mi hai fatto venire? Cos’hai in mente? Non mi hai dato molti dettagli nella tua mail...»

«Non smetto di tornare con la mente al mio antico demone, molto ambizioso in verità: la regolarità per l’equazione di Boltzmann non omogenea.»

«La regolarità condizionale? Intendi con condizioni di regolarit à minimali?»

«No, senza condizioni.»

«Addirittura! Senza un quadro perturbativo? Dici che siamo pronti?»

«Sì, mi ci sono rimesso, ho fatto qualche passo avanti, ma adesso sono bloccato. Ho scomposto la difficoltà in vari modelli ridotti, ma pure il più semplice mi sfugge. Credevo di risolverlo con un argomento basato sul principio del massimo ed ecco che tutto è crollato. Ho bisogno di parlarne.»

«Ti ascolto.»

Ho parlato a lungo: del risultato che ho in testa, dei miei tentativi, dei molti pezzi che non sono in grado di assemblare, del puzzle logico che non si compone, dell’equazione di Boltzmann ancora e sempre ribelle. L’equazione di Boltzmann è la più bella equazione del mondo, una volta l’ho anche detto a un giornalista! Ci sono cascato dentro da piccolo, vale a dire durante la mia tesi di dottorato, e ne ho studiato ogni aspetto. Perché c’è di tutto: la fisica statistica, la freccia del tempo, la meccanica dei fluidi, la teoria delle probabilità, la teoria dell’informazione, l’analisi di Fourier... Alcuni dicono che nessuno al mondo conosce meglio di me il mondo matematico generato da questa equazione.

Sette anni fa ho iniziato Clément a questo universo misterioso. Per la sua tesi di dottorato, che ha svolto sotto la mia supervisione, ha imparato con avidità. È certamente il solo matematico ad aver letto tutti i miei lavori sull’equazione di Boltzmann, e adesso è un ricercatore rispettato, autonomo, brillante ed entusiasta.

Sette anni fa gli ho messo il piede nella staffa e oggi sono io ad aver bisogno del suo aiuto. Sono su un problema troppo complicato, da solo non ci arriverò mai; devo perlomeno poter raccontare i miei sforzi a qualcuno che conosca la teoria alla perfezione.

«Supponiamo che le collisioni radenti siano presenti, d’accordo? Un modello senza cut off. Allora l’equazione si comporta come una diffusione frazionaria: certo degenerata, ma comunque una diffusione. Non appena avremo dei limiti sulla densità e sulla temperatura, ci potremo lanciare su un metodo iterativo alla Moser, modificato per tenere conto della non località.»

«Metodo di Moser? Mmmh... aspetta, fammi prendere degli appunti.»

«Sì, un metodo alla Moser. Il punto chiave è che l’operatore di Boltzmann... questo operatore, pur essendo bilineare e non locale, resta, moralmente, un divergence form operator, ed è questo che fa funzionare il metodo di Moser. Si fa un cambiamento di funzione non lineare, si monta in potenza... E in realtà c’è bisogno non solo della temperatura; c’è anche la matrice di momenti di ordine 2 che dobbiamo saper controllare. L’essenziale tuttavia resta la positività.»

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«Piano, non ti seguo, perché la temperatura non basta?»

Spiego a lungo, si discute e ci si contesta. La lavagna è piena di simboli. Clément vuole saperne di più sulla positività. Come mostrare la stretta positività senza condizioni di regolarità? È possibile?

«Non è così scioccante, se ci pensi, le collisioni producono delle stime di ordine inferiore, il trasporto in un dominio confinante pure, tutto va nella giusta direzione; i due effetti dovrebbero rinforzarsi, a meno di essere veramente sfortunati. Tempo fa Bernt ci aveva provato e si era impantanato. A dire il vero, molti ci hanno provato, senza successo, ma resta plausibile.»

«Sei sicuro che il trasporto si renderà positivo senza regolarit à? Senza collisioni, si trasporta il valore della densità, eppure non diventa positivo...»

«Certo, ma quando si prende la media delle velocità, si rinforza la positività... Un po’ come il lemma delle medie cinetiche, tuttavia qui non si tratta di regolarità ma di positività. È anche vero che nessuno l’ha veramente studiato da questa angolazione. Mi ricordo che... due anni fa a Princeton un postdoc cinese mi ha posto una domanda di questo tipo. Prendi un’equazione di trasporto, diciamo nel toro, supponi zero regolarità e vuoi mostrare che la densità spaziale diventa strettamente positiva. Senza regolarità! Sapeva farlo per il trasporto libero, o per qualcosa più generale in tempi piccoli, ma su tempi più grandi era bloccato... All’epoca avevo posto la sua domanda ad altre persone senza ricevere risposte convincenti.»

«Un attimo, solo con il semplice trasporto libero, come fai?»

“Trasporto libero” è un termine tecnico per indicare un gas ideale in cui le particelle non interagiscono tra di loro. Un modello talmente semplificato da non essere realistico, ma per questo molto istruttivo.

«Boh, con la soluzione esplicita dovrebbe funzionare, aspetta, proviamo a ripescarlo.»

Proviamo entrambi a ritracciare il ragionamento che aveva fatto Dong Li. Non è un gran risultato, piuttosto un piccolo esercizio. Detto questo: può essere che risolverlo ci metta sulla buona strada, verso la soluzione dell’enigma principale. È come un gioco! Dopo qualche minuto di scarabocchi silenziosi, sono io a vincere.

«Penso di esserci arrivato.»

Vado alla lavagna per illustrare la mia soluzione, come durante un’esercitazione.

«Si scompone la soluzione secondo le repliche del toro... si cambia di variabile in ogni pezzo... c’è una jacobiana che esce, usi la regolarità di tipo Lipschitz... e alla fine trovi una convergenza in 1/t. Lenta, ma funziona.»

«Dunque non hai regolarità e la convergenza è ottenuta per media... media...»

Clément riflette a voce alta davanti al mio calcolo. A un certo punto si illumina, tutto eccitato, agitando l’indice in direzione della lavagna: «Ma allora bisognerà vedere se possiamo usare lo smorzamento di Landau!».

Sono sorpreso. Tre secondi di silenzio. Un vago sentimento di essere davanti a qualcosa di importante.

Chiedo delle spiegazioni. Clément mi spiega che questa prova gli ricorda una discussione che ha avuto tre anni fa con un ricercatore di origine cinese, Yan Guo, a Providence, sulla costa est degli Stati Uniti.

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«Nello smorzamento di Landau si cerca un rilassamento per un’equazione reversibile.»

«D’accordo, ma l’interazione non gioca nessun ruolo. Non siamo su un modello di tipo Vlasov, qui è questione solo di trasporto libero!»

«Può darsi che l’interazione giochi un ruolo... e d’altro canto la convergenza dovrebbe essere esponenziale. Pensi che 1/t sia ottimale?»

«Mi sembra, no?»

«E se la regolarità fosse più forte? Non sarebbe meglio?»

«Mmmh.»

Mugugno. Un insieme di dubbi, concentrazione, interesse e frustrazione. Dopo qualche secondo di silenzio, sguardi fissi e bocche cucite, la discussione riprende... Anche se appassionante il mitico (e mistico?) smorzamento di Landau non ha niente a che vedere con il nostro progetto iniziale di ricerca; dopo qualche minuto passiamo ad altro. Ci addentriamo via via tra varie questioni matematiche. Prendiamo appunti, prepariamo un piano d’attacco. Quando ci separiamo lo smorzamento di Landau è ancora sulla lunga lista dei compiti a casa.

L’equazione di Boltzmann,

scoperta intorno al 1870, modella l’evoluzione di un gas rarefatto, composto da miliardi e miliardi di particelle che si scontrano tra di loro: si rappresenta la distribuzione statistica delle posizioni e delle velocità con una funzione f(t, x, v) che al tempo t indica la densità di particelle la cui posizione è (circa) x e la velocità è (circa) v.

Ludwig Boltzmann scoprì la nozione statistica di entropia, o disordine, di un gas:

utilizzando la sua equazione, dimostrò che a partire da uno stato iniziale fissato arbitrariamente, l’entropia non poteva che aumentare nel corso del tempo, mai diminuire. In termini figurati, il gas, lasciato libero, diventa sempre più disordinato e questa evoluzione è irreversibile.

 

Con la crescita dell’ entropia, Bolztmann ritrovò una legge scoperta sperimentalmente qualche decennio prima e conosciuta col nome di seconda legge della termodinamica, ma aggiunse svariati ed eccezionali contributi concettuali. Anzitutto, perché sostituì una legge empirica, osservata sperimentalmente e assunta come principio, con una dimostrazione argomentata: inoltre perché introdusse un’interpretazione matematica, estremamente feconda, della misteriosa entropia. E infine perché riconciliò la fisica microscopica – imprevedibile, caotica e reversibile – con la fisica macroscopica, prevedibile e irreversibile. Questi contributi valsero a Boltzmann un posto di primo piano nel pantheon della fisica teorica, ma anche l’attenzione sempre rinnovata di filosofi ed epistemologi.

 

Boltzmann definì in seguito anche lo stato di equilibrio di un sistema statistico come lo stato di entropia massimale, fondando così l’immenso campo della fisica statistica dell’equilibrio: è lo stato più disordinato che è il più naturale.

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Il giovane “conquistatore” Boltzmann lasciò poco a poco spazio a un vecchio uomo tormentato che si suicidò nel 1906. Il suo trattato sulla teoria dei gas, ancora oggi di attualità, appare, a distanza di tempo, come una delle più importanti opere scientifiche del diciannovesimo secolo. Le sue predizioni, confermate da esperimenti scientifici, restano tuttavia ancora in attesa di una teoria matematica completa: uno dei pezzi mancanti nel puzzle è lo studio della regolarità delle soluzioni dell’equazione di Boltzmann. Malgrado questo mistero persista, o forse proprio per questo motivo, l’equazione di Boltzmann è al giorno d’oggi l’oggetto di una teoria in pieno sviluppo, che impegna una comunità internazionale di matematici, fisici e ingegneri, che si riuniscono a centinaia nei colloqui Rarefied Gas Dynamics e in molte altre occasioni.

Ludwig Boltzmann

Capitolo 2

Lione, marzo 2008

Lo smorzamento di Landau!

Dopo il nostro incontro di lavoro, dei ricordi confusi si fanno spazio nella mia testa: pezzi di conversazione, discussioni interrotte... Tutti i fisici specialisti dei plasma hanno familiarità con lo smorzamento di Landau, ma per i matematici questo fenomeno resta un mistero.

Nel dicembre del 2006 mi trovavo a Oberwolfach, in un istituto leggendario sperduto nella Foresta Nera: un vero e proprio “rifugio” dove i matematici vanno e vengono, in un incessante balletto, per parlare dei temi più svariati. Porte senza s...

Indice dei contenuti

• Copertina
• Frontespizio
• Copyright
• Capitolo 1
• Capitolo 2
• Capitolo 3
• Capitolo 4
• Capitolo 5
• Capitolo 6
• Capitolo 7
• Capitolo 8
• Capitolo 9
• Capitolo 10
• Capitolo 11
• Capitolo 12
• Capitolo 13
• Capitolo 14
• Capitolo 15
• Capitolo 16
• Capitolo 17
• Capitolo 18
• Capitolo 19
• Capitolo 20
• Capitolo 21
• Capitolo 22
• Capitolo 23
• Capitolo 24
• Capitolo 25
• Capitolo 26
• Capitolo 27
• Capitolo 28
• Capitolo 29
• Capitolo 30
• Capitolo 31
• Capitolo 32
• Capitolo 33
• Capitolo 34
• Capitolo 35
• Capitolo 36
• Capitolo 37
• Capitolo 38
• Capitolo 39
• Capitolo 40
• Capitolo 41
• Capitolo 42
• Capitolo 43
• Capitolo 44
• Epilogo
• Traduzioni