Pensare meglio

Strategie e scorciatorie per decidere senza sbagliare

Marcus Du Sautoy

• Editore: RIZZOLI
• Anno: 2021
• ISBN:
  9788831806039
• Argomento: Personal Development
• Categoria: Personal Success

Ci hanno insegnato che le scorciatoie sono qualcosa di sospetto, se non addirittura sbagliato o pericoloso: un trucchetto sleale, che permette di evitare parte del percorso necessario a raggiungere un obiettivo. Soluzioni per scansafatiche sempre pronti a «barare», o deviazioni adatte solo ai meno cauti. In ogni caso, niente di più lontano dalla matematica, con i suoi calcoli precisi - e un po' tediosi - da svolgere un passo alla volta. O no?
Be', uno studioso e divulgatore del calibro di Marcus du Sautoy non sembra affatto d'accordo. Anzi, secondo lui la matematica è il regno del pensiero strategico, quello che ci porta al risultato richiesto nel tempo più breve e con il minor dispendio di energie possibile. Imboccando, insomma la stessa via seguita da Madre Natura. E non è un caso se gran parte di ciò che chiamiamo «progresso» sia nato proprio dalla capacità di semplificare un certo compito. Dobbiamo tantissimo a quei «pigri» che hanno trovato la soluzione meno faticosa per affrontare grandi problemi: dalle tecniche per edificare le prime città, sorte oltre cinquemila anni fa lungo il Nilo e l'Eufrate, al calcolo infinitesimale applicato all'ingegneria rinascimentale, fino agli algoritmi informatici in grado di indicarci la strada giusta o aiutarci a trovare online la nostra anima gemella.
E la matematica non è l'unica scienza che può insegnare l'arte delle scorciatoie. Ecco perché questo libro divertente, pieno di aneddoti sorprendenti e di stimolanti enigmi da risolvere, si avventura in molti altri campi del sapere: dal mondo delle start-up a quello della musica, dai viaggi alla psicologia. Mostrandoci come proprio l'abilità di trovare approcci innovativi differenzi l'uomo dal più efficiente dei computer, che può invece affidarsi alla sua enorme capacità di calcolo per compiere in un attimo la via più lunga.
Con la sua indubbia competenza e il suo inconfondibile piglio ironico, du Sautoy ci insegna come funzionano le scorciatoie mentali e quali sono le strategie per risolvere con creatività i problemi che affrontiamo ogni giorno. Starà a noi, poi, farne buon uso.

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La scorciatoia schematica

A casa avete una rampa di scale con dieci scalini e potete salirla facendo uno o due gradini per volta: potete fare dieci passi da uno scalino, cinque da due scalini o qualunque altra combinazione che più vi aggradi. Il problema è quindi: quante sono le possibili combinazioni differenti di passi che vi conducono in cima alla scala? Per risolverlo, potete prendere la via lunga e cercare di trovare tutte le combinazioni correndo su e giù per le scale. Ma che cosa farebbe il nostro giovane Gauss?

Vi piacerebbe scoprire una scorciatoia che vi consenta di prendere il 15 per cento in più di stipendio facendo esattamente lo stesso lavoro? O, magari, una scorciatoia per trasformare un piccolo investimento in un cospicuo gruzzolo? O per scoprire quale sarà l’andamento del prezzo di un’azione nei mesi a venire? A volte vi sembra di continuare a reinventare la ruota, ma avete come l’impressione che ci sia qualcosa che collega tutte queste ruote diverse che state creando? E se ci fosse una scorciatoia per aiutarvi con la vostra terribile memoria?

Esaminerò ora assieme a voi una delle scorciatoie più potenti che gli uomini abbiano mai scoperto: la capacità della mente umana di individuare uno schema nel caos che ci circonda, che ha dato alla nostra specie lo straordinario potere di conoscere il futuro prima che divenga presente. Se riuscite a cogliere uno schema nei dati che descrivono il passato e il presente, estendendolo ulteriormente avrete la possibilità di conoscere il futuro senza bisogno di attendere che si manifesti. La forza degli schemi, per me, è il cuore della matematica e costituisce la sua scorciatoia più efficace.

Gli schemi ci permettono di vedere che per quanto i numeri possano essere differenti, la regola del modo in cui crescono può restare la stessa. Se individuiamo la regola che sta alla base dello schema, possiamo evitare di ripetere lo stesso lavoro tutte le volte che incontriamo un nuovo insieme di dati. È lo schema a fare il lavoro per noi.

L’economia è piena di dati con schemi che, letti nel modo appropriato, possono guidarci verso un futuro di prosperità; questo anche se, come vedremo, alcuni schemi possono essere fuorvianti, come ha dimostrato il crollo finanziario mondiale del 2008. Gli schemi rintracciabili nel numero di persone che vengono colpite da un virus ci permettono di comprendere la traiettoria di sviluppo di una pandemia e di intervenire prima che faccia troppe vittime. Gli schemi presenti nel cosmo ci consentono di capire il nostro passato e il nostro futuro. L’analisi dei numeri che descrivono il modo in cui le stelle si stanno allontanando da noi ci ha rivelato uno schema che ci dice che il nostro universo è nato con il Big Bang e terminerà in un freddo futuro noto come morte termica.

Fu proprio la capacità di scovare lo schema presente in un insieme di dati astronomici a lanciare il giovane Gauss sul palcoscenico mondiale come il maestro delle scorciatoie.

Schemi planetari

Il 1° gennaio 1801, un ottavo pianeta venne individuato in orbita attorno al Sole tra Marte e Giove. Fu battezzato Cerere e la sua scoperta venne considerata da tutti come di grande auspicio per il futuro della scienza all’alba del XIX secolo.

L’eccitazione si trasformò però in disperazione solo poche settimane dopo, quando il minuscolo pianeta (che di fatto era soltanto un piccolo asteroide) scomparve dalla vista in prossimità del Sole, in mezzo a una moltitudine di stelle. Gli astronomi non avevano idea di dove fosse andato a finire.

Giunse quindi la notizia che un giovane ventiquattrenne di Brunswick aveva dichiarato di conoscere la posizione del pianeta scomparso: disse agli astronomi dove puntare i loro telescopi e, come per magia, Cerere era proprio lì. Il giovane in questione non era nient’altri che il mio eroe, Carl Friedrich Gauss.

Dopo i suoi primi successi a nove anni, Gauss aveva proseguito nella sua carriera facendo numerose affascinanti scoperte matematiche, tra cui quella di un modo per costruire una figura di 17 lati usando soltanto riga e compasso. Si trattava di una sfida rimasta insoluta per duemila anni, da quando gli antichi greci avevano iniziato a escogitare dei modi intelligenti per disegnare le figure geometriche. Era talmente orgoglioso della sua impresa che iniziò a tenere un diario matematico, dove nel corso degli anni seguenti annotò le sue straordinarie scoperte sui numeri e sulla geometria. Furono però i dati relativi a quel nuovo pianeta a catturare particolarmente la sua attenzione. Nelle letture che erano state prese prima che Cerere scomparisse dietro al Sole c’era modo di trovare un qualche schema razionale che consentisse di determinare la sua posizione attuale? Alla fine, il giovane Gauss riuscì a venire a capo del mistero.

Inutile dire che nella sua grande predizione astronomica non c’era nulla di magico. Era semplice matematica. Gli astronomi avevano scoperto Cerere per caso e Gauss usò l’analisi matematica per calcolare lo schema nascosto dietro i numeri che descrivevano le posizioni note dell’asteroide e stabilire quindi la sua traiettoria futura. Certo, non fu il primo a individuare degli schemi nelle dinamiche del cosmo: gli astronomi avevano iniziato a usare questa scorciatoia per orientarsi nei cambiamenti del cielo notturno – in modo da poter fare predizioni e pianificare il futuro – fin da quando la nostra specie aveva compreso che futuro e passato erano tra loro connessi.

La presenza di uno schema nell’alternarsi delle stagioni significava che gli agricoltori potevano pianificare il momento per la semina e la raccolta. Ogni stagione era associata a una particolare configurazione delle stelle. Gli schemi nel comportamento tenuto dagli animali durante le migrazioni e l’accoppiamento permettevano ai primi uomini di decidere il momento più opportuno per la caccia, così da ottenere il massimo risultato con il minimo dispendio di energie. La capacità di predire le eclissi elevava una persona al rango di membro importante della sua tribù. In un episodio diventato famoso, Cristoforo Colombo sfruttò proprio la sua conoscenza di un’imminente eclisse lunare per salvare di fatto il suo equipaggio che era stato catturato dagli indigeni dopo che si erano arenati sulle coste giamaicane, nel 1503. Gli abitanti del posto rimasero talmente colpiti dalla sua capacità di predire la scomparsa della Luna che acconsentirono alle sue richieste di liberazione.

Che numero viene dopo?

La sfida di cercare uno schema è perfettamente racchiusa in quei problemi che avrete probabilmente incontrato a scuola, quando vi veniva data una sequenza di numeri con la richiesta di determinare quale sarebbe venuto dopo. Io amavo le sfide di questo tipo, che il nostro insegnante scriveva sulla lavagna: quanto più tempo ci mettevo per cogliere lo schema nascosto, tanto più trovavo gratificante l’esperienza della scoperta della scorciatoia. È una lezione che ho avuto modo di imparare presto: le scorciatoie migliori richiedono spesso molto tempo per essere scoperte. Bisogna lavorarci sopra. Una volta che le abbiamo trovate, però, entrano a far parte del nostro repertorio di modi di vedere il mondo, a cui possiamo attingere nelle più svariate situazioni.

Per stimolare i vostri neuroni legati alla ricerca degli schemi, eccovi alcune sfide. Qual è il numero successivo in questa sequenza?

1, 3, 6, 10, 15, 21…

La risposta non è troppo difficile. Probabilmente, avrete capito che a ogni passaggio viene aggiunto un numero più grande di un’unità rispetto a quello sommato nel passaggio precedente; ne segue che il numero successivo sarà 28, ossia 21 + 7. Questi numeri sono detti «triangolari», in quanto corrispondono al numero di pietre che vi servono per costruire un triangolo aggiungendo un’ulteriore fila a ogni passaggio. Ma esiste una scorciatoia che ci consenta di trovare il centesimo numero di questo elenco senza dover passare per tutti i precedenti novantanove? Si tratta, di fatto, della stessa sfida affrontata da Gauss quando il suo maestro gli aveva assegnato il compito di sommare i numeri da 1 a 100. Per arrivare alla risposta, Gauss escogitò la brillante scorciatoia di sommare i numeri a coppie. Più in generale, se volete trovare l’n-esimo numero triangolare, il trucco di Gauss è espresso dalla formula:

½ × n × (n + 1).

Questi numeri triangolari continuarono ad affascinare Gauss anche dopo la prima volta che li aveva incontrati nella classe del signor Büttner. In una delle pagine del suo diario matematico, scritta il 10 luglio 1796, esclamò in greco con eccitazione Eureka!, per poi riportare la formula:

num = Δ + Δ + Δ.

Gauss aveva cioè scoperto lo straordinario fatto che tutti i numeri possono essere scritti come la somma di tre numeri triangolari. Per esempio, 1796 = 10 + 561 + 1225. Un’osservazione di questo genere può condurci a potenti scorciatoie, in quanto anziché dover provare che qualche proprietà è valida per tutti i numeri, potrebbe essere sufficiente dimostrarla per i numeri triangolari e quindi sfruttare la scoperta di Gauss per cui ogni numero è costituito dalla somma di tre di questi ultimi.

Ecco un’altra sfida. Qual è il numero successivo in questa sequenza?

1, 2, 4, 8, 16…

Anche questo problema non è troppo difficile: la risposta è 32, in quanto a ogni passaggio il numero viene raddoppiato. Si chiama «crescita esponenziale»; controlla il modo in cui una molteplicità di cose possono crescere ed è importante per comprendere l’evoluzione di questo tipo di fenomeni. Per esempio, i primi numeri della sequenza non sembrano destare motivo di allarme; di certo, questo è ciò che doveva aver pensato quel re indiano che, stando alla leggenda, accettò di pagare al creatore degli scacchi il prezzo che quest’ultimo gli aveva domandato per il suo gioco. L’inventore aveva chiesto di porre un singolo chicco di riso sulla prima casella della scacchiera, per poi procedere raddoppiando il numero di chicchi a ogni casella successiva. La prima fila sembrava piuttosto innocua: il totale era solo di 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255 chicchi di riso. Sarebbero bastati a malapena per un pezzo di sushi.

Ma, man mano che i servi del re continuavano ad aggiungere sempre più riso, ben presto i granai si svuotarono. Per arrivare a metà della scacchiera occorrono circa 280.000 chili di riso, e la prima metà è quella facile! In tutto, di quanti chicchi di riso avrebbe avuto bisogno il re per pagare l’inventore? Sembra uno di quei problemi che il maestro Büttner avrebbe potuto assegnare ai suoi malcapitati studenti. La via lunga e faticosa per arrivare alla risposta consiste nel sommare i 64 numeri differenti. Ma chi vorrebbe imbarcarsi in un lavoro così pesante? Come avrebbe proceduto Gauss per risolvere questa sorta di sfida?

Per svolgere questo calcolo esiste una splendida scorciatoia, che di primo acchito sembra però solo complicare ulteriormente le cose. Spesso all’inizio le scorciatoie danno l’impressione di muoversi nella direzione opposta rispetto a quella che dovremmo prendere. Innanzitutto, darò un nome al numero complessivo dei chicchi di riso: lo chiamerò X. È uno dei miei nomi preferiti in ambito matematico, e – come vedremo nel capitolo 3 – è già in se stesso una potente scorciatoia nell’arsenale di questa disciplina.

Quindi, partirò con il raddoppiare la quantità che sto cercando di determinare:

2 × (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2⁶² + 2⁶³).

Con questo passaggio, sembra che mi stia rendendo la vita più difficile. Voi continuate però a seguirmi. Svolgiamo ora la moltiplicazione indicata:

= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … + 2⁶³ + 2⁶⁴.

E qui arriva il lampo di genio: da questa somma, sottraggo X. A tutta prima, sembrerebbe che sono ritornato al punto di partenza: 2X – X = X. E quindi, in che modo tutto questo dovrebbe aiutarci? Ma quando sostituisco a 2X e X le somme che ho ottenuto, avviene qualcosa di magico:

2X – X = (2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … + 2⁶³ + 2⁶⁴) –

(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2⁶² + 2⁶³).

La maggior parte dei termini si cancellano! Rimangono soltanto il 2⁶⁴ nella prima parte e l’1 nella seconda. Così, ciò che mi resta è:

X = 2X – X = 2⁶⁴ – 1.

Anziché fare un sacco di calcoli, mi basta svolgere questa singola operazione per scoprire che il numero complessivo di chicchi di riso di cui il re ha bisogno per pagare l’inventore è:

18.446.744.073.709.551.615

Si tratta di una quantità di riso superiore a quella che è stata prodotta sull’intero pianeta nel corso dell’ultimo millennio. La morale della storia è che talvolta possiamo cancellare un duro lavoro con un altro duro lavoro e rimanere con qualcosa che risulta molto più semplice da analizzare.

Come il re imparò a sue spese, all’inizio un raddoppio potrà anche sembrare qualcosa di innocente, ma ben presto diventa ingestibile. È la forza della crescita esponenziale. Chi decide di prendere un prestito per pagare un debito di gioco ha modo di avvertire questo effetto sulla propria pelle. A prima vista, l’offerta di una società che vi propone un prestito di 1000 euro al 5 per cento mensile di interessi potrebbe sembrarvi una manna dal cielo: in fin dei conti, dopo un mese vi ritrovereste con un debito di soli 1050 euro. Il problema, però, è che ogni mese questa somma si moltiplica di nuovo per 1,05, il che significa che dopo due anni il vostro debito sarà già salito a 3225 euro e dopo cinque a 18.679. Un ottimo affare per chi sta prestando i soldi, un po’ meno per chi li riceve.

Il fatto che in generale le persone hanno grande difficoltà a capire questo schema di crescita esponenziale tende a trasformarlo in una scorciatoia per la povertà estrema. Le società di prestiti con anticipo sullo stipendio sfruttano questa incapacità di leggere lo schema e le sue conseguenze per convincere gli scommettitori più vulnerabili a sottoscrivere un contratto che, all’inizio, può sembrare molto vantaggioso. I pericoli del raddoppio e la spirale in cui ci fa precipitare sono cose importanti da conoscere per evitare di perdersi in una situazione di miseria senza via d’uscita.

Abbiamo tutti imparato troppo tardi e a nostre spese la terrificante velocità della crescita esponenziale con la pandemia da coronavirus del 2020. In media, il numero delle persone infette ...

Indice dei contenuti

• Copertina
• Frontespizio
• Pensare meglio
• Partenza
• 1. La scorciatoia schematica
• 2. La scorciatoia calcolata
• 3. La scorciatoia linguistica
• 4. La scorciatoia geometrica
• 5. La scorciatoia diagrammatica
• 6. La scorciatoia differenziale
• 7. La scorciatoia statistica
• 8. La scorciatoia probabilistica
• 9. La scorciatoia reticolare
• 10. La scorciatoia impossibile
• Arrivo
• Ringraziamenti
• Copyright