Círculos matemáticos

Dmitry Fomin, Sergey Genkin, Ilia Itenberg, Enrique Hernando Arnáiz

• Publisher: Ediciones SM España
• Year: 2015
• ISBN:
  9788467589092
• Topic: Matemáticas
• Subtopic: Matemáticas general

Con la idea de que pensar y discutir sobre problemas matemáticos podría generar el mismo entusiasmo que practicar un deporte en equipo, en la antigua Unión Soviética surgió el singular movimiento cultural de los CÍRCULOS MATEMÁTICOS, que dejó tras de sí un intenso rastro de problemas, enfoques y textos. CÍRCULOS MATEMÁTICOS recoge parte de aquella emocionante experiencia.Es un libro de divulgación matemática dirigido a todos aquellos que sienta curiosidad por el juego mental que implican las matemáticas y que deseen indagar en sus ramas menos conocidas. También es un libro ideal para estudiantes que quieran salir de los límites del curriculum escolar, y para profesores que deseen proponer retos matemáticos interesantes pero que no requieran técnicas complicadas para resolverse.

Parte 2. El segundo año

Capítulo 9
Inducción
I. S. Rubanov

§ 1. Los procesos inductivos y el método de inducción

Introducción para los profesores. ¿Quién no ha jugado alguna vez a colocar fichas de dominó en una fila y hacer que caigan en cadena? Empujamos la primera ficha y esta derriba a la segunda, la segunda derriba entonces a la tercera y así sucesivamente hasta que caen todas. Sustituyamos ahora las fichas de dominó por una serie infinita de proposiciones (P1, P2, P3, …) numeradas con los enteros positivos.

Supongamos que podemos demostrar que:

(B): la primera proposición de la serie es verdadera.

(S): La veracidad de cada proposición de la serie implica la veracidad de la siguiente.

Entonces habríamos demostrado, de hecho, todas las proposiciones de la serie. En efecto, si “empujamos la primera ficha de dominó”, es decir, probamos la primera afirmación (B), entonces el enunciado (S) significará que cada “ficha” (proposición), al caer (ser demostrada), derribará a (implica la veracidad de) la siguiente. Cualquier proposición que elijamos de antemano será probada eventualmente al ser alcanzada por esta onda de demostraciones.

Acabamos de hacer una descripción del método de inducción matemática. La afirmación (B) es la “base de inducción” y la (S) es el “paso de inducción”. Nuestro razonamiento con la sucesión de fichas de dominó cayendo demuestra que el paso (S) no es más que una forma compacta de representar la cadena de teoremas que mostramos abajo:

P1 → P2 → P3 → … → Pk → Pk + 1 → …

Llamaremos a los teoremas de esta sucesión “pasos”, y al proceso que consiste en demostrarlos secuencialmente, “el proceso de inducción”. Podemos representar este proceso visualmente como una sucesión de demostraciones que van avanzando de cada proposición a la siguiente a lo largo de una cadena de teoremas.

La esencia del método de inducción consiste precisamente en este proceso. Podemos preguntarnos entonces cómo podemos transmitir esta idea a los alumnos. Intentaremos mostrarlo simulando un diálogo entre un profesor (P) y un estudiante (E), que bien podría representar una sesión de uno de nuestros círculos matemáticos. Al final del diálogo propondremos algunos comentarios metodológicos para el profesor (las referencias numeradas a esos comentarios aparecen indicadas entre paréntesis en el propio texto del diálogo).

Problema 1. P: Recortamos un cuadrado de 16 × 16 de una hoja de papel cuadriculado y le quitamos una casilla cualquiera. Demuestra que la figura así obtenida puede ser recubierta sin solapamientos por triminós como el que se muestra en la figu...