Sie ist nicht beliebt und manchmal schwer zu verstehen: die Lineare Algebra. Aber keine Sorge: Thoralf Räsch hat ein kompaktes und verständliches Buch geschrieben, das Ihnen hilft, die Grundlagen der Linearen Algebra zu verstehen. Er erklärt Ihnen, was Sie über die algebraischen Grundlagen, Vektorräume, Lineare Gleichungssysteme und Matrizen wissen sollten. Auch die komplexen Zahlen kommen nicht zu kurz. Übungsaufgaben und Lösungen helfen Ihnen, Ihr Wissen zu festigen und zu überprüfen. So hilft Ihnen dieses Buch beim Grundverständnis der Linearen Algebra, wenn es einmal schnell gehen soll.
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Hinreichende und notwendige Bedingungen unterscheiden
Grundlegende Begriffe über Funktionen kennen
In diesem ersten Kapitel zeige ich Ihnen, woher die verschiedenen Zahlen kommen, was die Zahlenmengen unterscheidet und wie Sie mit ihnen rechnen können. Mit diesem Verständnis lernen Sie nebenbei noch einmal, wie Sie mit Brüchen zu arbeiten haben. Am Ende dieses ersten Einführungskapitels werden Sie mit den Grundbestandteilen der mathematischen Sprache vertraut gemacht: den Variablen. Das Rechnen mit diesen Unbekannten muss sitzen, wie Sie sehen werden. Außerdem sprechen wir über Begrifflichkeiten bei Funktionen, die im weiteren Verlauf des Buches wichtig sind.
Mathematik und die natürlichen Zahlen
Fangen wir langsam an. Wenn Sie in einem Korb Ihre Äpfel zählen wollen, dann starten Sie mit der Eins und zählen weiter: zwei, drei, vier und so weiter. Diese Zahlen benötigen Sie ständig im täglichen Leben – es handelt sich um die so genannten natürlichen Zahlen.
Definition
Die Menge der natürlichen Zahlen
besteht aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5,… Diese Menge ist unendlich groß: Ist nämlich eine Zahl n in der Menge
enthalten, so auch ihr Nachfolgern + 1.
Die natürlichen Zahlen sind in Abbildung 1.1 auf dem Zahlenstrahl zu sehen, so wie Sie sie auch erwarten würden:
Abb. 1.1 Die natürlichen Zahlen
Die Mathematiker sind sich oft nicht ganz einig, ob sie die Null zur Menge der natürlichen Zahlen hinzuzählen sollen. Das stellt aber auch kein Problem dar. Es handelt sich um eine typische Situation in der Mathematik: Mit beiden Varianten können Sie leben und rechnen, aber Sie müssen sich vorher festlegen – die Mathematiker nennen dies definieren.
In diesem Buch gehört die Null zur Menge der natürlichen Zahlen. Ich sage Ihnen auch, warum ich dies gut finde: Stellen Sie sich vor, Sie möchten die natürlichen Zahlen verwenden, um eine Anzahl von Gegenständen zu beschreiben: Wie viele Äpfel sind im Korb? Wie viele Birnen befinden sich im Regal oder wie viele Autos fahren auf der Straße vorbei? Dies können eben 1, 2, 3 oder 1000 sein. Der Korb, das Regal oder die S...
