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Un curso de ĂĄlgebra
Gabriel Navarro Ortega
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Un curso de ĂĄlgebra
Gabriel Navarro Ortega
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Ă propos de ce livre
Segunda ediciĂłn corregida y aumentada de esta obra, que ofrece una clara y concisa introducciĂłn al ĂĄlgebra. Su objetivo, el gran teorema de Galois sobre resolubilidad de ecuaciones polinĂłmicas por radicales, es uno de los teoremas mĂĄs fascinantes de las matemĂĄticas de todos los tiempos. La primera parte del libro se centra en la teorĂa de grupos y concluye con una nueva demostraciĂłn del teorema fundamental de los grupos abelianos finitos. La segunda parte comienza con la teorĂa de los anillos, necesaria para desarrollar posteriormente la teorĂa de Galois. Al final de cada capĂtulo se proponen una serie de problemas, algunas de cuyas soluciones las podrĂĄ encontrar el lector en el apĂ©ndice.
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Oui, vous pouvez accĂ©der Ă Un curso de ĂĄlgebra par Gabriel Navarro Ortega en format PDF et/ou ePUB ainsi quâĂ dâautres livres populaires dans MatemĂĄticas et Ălgebra. Nous disposons de plus dâun million dâouvrages Ă dĂ©couvrir dans notre catalogue.
Informations
1. Conjuntos, aplicaciones, nĂșmeros
1
En este libro, un conjunto A es una colecciĂłn de objetos a los que llamamos elementos de A. Dado un objeto x y un conjunto A, decimos que x pertenece a A si x es un elemento de A. En este caso escribimos x â A. En caso contrario, decimos que x no pertenece a A, y escribimos x â A.
Denotamos los conjuntos con letras mayĂșsculas, y los definimos especificando o describiendo con exactitud los elementos que pertenecen a ellos. Por ejemplo, A = {1, 2, 3, 4} es el conjunto cuyos elementos son 1, 2, 3 y 4. AsĂ, escribimos 3 â A y 5 â A. El conjunto B = {1, {1, 2}, {1, 2, 3}} tiene tres elementos: 1, el conjunto {1, 2}, y el conjunto {1, 2, 3}. Por tanto, escribimos {1, 2, 3} â B. El conjunto vacĂo â
es el conjunto que no tiene elementos. Un conjunto A es finito si tiene un nĂșmero finito de elementos. En este caso escribimos |A| para denotar el nĂșmero de elementos del conjunto A. Por ejemplo, |{1, 2, 3, 4}| = 4, |{1, {1, 2}, {1, 2, 3}}| = 3 y |â
| = 0.
No siempre es posible o conveniente listar todos y cada uno de los elementos de un conjunto: nos basta con que describamos con precisiĂłn los que pertenecen a Ă©l. Por ejemplo, el conjunto
C = {x â â | x = 2n + 1 para algĂșn n â â}
es el conjunto de los nĂșmeros naturales impares. En este libro, los nĂșmeros naturales son los elementos del conjunto â = {0, 1, 2, 3, âŠ}. Algunos autores no consideran 0 como nĂșmero natural, pero esta es una polĂ©mica inĂștil. La lĂnea vertical â|â en la definiciĂłn del conjunto C se lee âtal queâ; asĂ, decimos que C es el conjunto de los nĂșmeros naturales x tales que pueden escribirse de la forma x = 2n + 1 para algĂșn n â â. Algunos autores utilizan â:â en lugar de la lĂnea vertical. Los lectores deben ser conscientes de que diferentes autores pueden utilizar notaciones distintas y de que esto no es necesariamente negativo. Volviendo a C, podrĂamos haber escrito
C = {2n + 1 | n â â}
que es una notaciĂłn mĂĄs ĂĄgil.
Considaremos ahora el conjunto D = {n â â | 0 < n > 5} y lo comparamos con el conjunto A = {1, 2, 3, 4} definido en el segundo pĂĄrrafo. Desde luego, observamos que D y A son iguales, pero necesitamos formular esto de forma precisa. Si A y B son conjuntos, decimos que A estĂĄ contenido en B si para todo a â A se tiene que a â B. En este caso, escribimos A â B, y decimos que A es un subconjunto de B. En caso contrario, decimos que A no estĂĄ contenido en B, y lo escribimos A â B. Los conjuntos A y B son iguales si A â B y B â A, y lo escribimos A = B. En caso contrario, escribimos A â B. Observamos que â
â A para todo conjunto A.
En este punto, debemos sincerarnos con el lector para advertirle que esta aproximaciĂłn nåıf a la teorĂa de conjuntos tiene algunas consecuencias no deseadas, como la famosa paradoja de Russell. Es evidente que el conjunto de los nĂșmeros naturales no es un nĂșmero natural, por lo que la expresiĂłn â â â, aunque chocante, es cierta. Uno podrĂa construir el conjunto X = {A | A es conjunto y A â A}, y preguntarse si el propio X â X o si X â X. Por ejemplo, â â X pues â â â. Sin embargo, si X â X, esto significarĂa por definiciĂłn que X â X, y al contrario. Hemos llegado a una contradicciĂłn, pues no puede pasar algo y lo opuesto al mismo tiempo. En definitiva, parece claro que tenemos un problem...