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Matematica: analisi matematica
Simone Malacrida
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Matematica: analisi matematica
Simone Malacrida
Angaben zum Buch
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Inhaltsverzeichnis
Quellenangaben
Ăber dieses Buch
In questo libro sono presentati i presupposti teorici dei seguenti argomenti matematici:
introduzione alla topologia
limiti e calcolo dei limiti
continuitĂ e funzioni continue
derivate e calcolo differenziale
integrali e calcolo integrale
studio di funzioni di variabile reale
Ogni argomento Ăš trattato mettendo in risalto le applicazioni pratiche e risolvendo alcuni esercizi significativi.
HĂ€ufig gestellte Fragen
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Information
Thema
MathematicsV
INTEGRALI E CALCOLO INTEGRALE
Definizione
Considerando una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], si possono definire due punti allâinterno di una qualunque partizione dellâintervallo dati dallâestremo inferiore e da quello superiore come segue:
![immagine 1](https://book-extracts.perlego.com/1079049/images/ebook_image_39512_55d7a5c495b9d416-plgo-compressed.webp)
Le somme integrali inferiori e superiori sono cosĂŹ costruite:
![immagine 2](https://book-extracts.perlego.com/1079049/images/ebook_image_39512_81fdf1945ddb8449-plgo-compressed.webp)
Definiamo somma integrale la seguente quantitĂ :
![immagine 3](https://book-extracts.perlego.com/1079049/images/ebook_image_39512_0eecefca0a8ab9ca-plgo-compressed.webp)
Il limite di tale somma integrale (se esiste finito) Ăš detto integrale di Riemann e si indica cosĂŹ:
![immagine 4](https://book-extracts.perlego.com/1079049/images/ebook_image_39512_d4fb1d82c0a765fd-plgo-compressed.webp)
E rappresenta la convergenza tra la somma integrale inferiore e quella superiore.
La funzione si dice dunque integrabile nellâintervallo chiuso [a,b].
Una condizione sufficiente per lâintegrabilitĂ Ăš data dalla continuitĂ della funzione su un intervallo chiuso e limitato: una funzione uniformemente continua Ăš quindi integrabile.
Una funzione si dice assolutamente integrabile se Ú integrabile il suo modulo (va da sé che una funzione assolutamente integrabile Ú integrabile).
ProprietĂ e teoremi
Lâintegrale di Riemann gode delle proprietĂ di linearitĂ , additivitĂ e monotonia.
In formule si ha:
![immagine 5](https://book-extracts.perlego.com/1079049/images/ebook_image_39512_419034417fcf2cf0-plgo-compressed.webp)
Valgono inoltre due teoremi relativi al valore assoluto e alla media integrale:
![immagine 6](https://book-extracts.perlego.com/1079049/images/ebook_image_39512_c3195523fd6c2327-plgo-compressed.webp)
Lâintegrale di Riemann fino a qui proposto Ăš detto integrale definito ed Ăš un funzionale ossia restituisce un valore numerico a fronte di unâoperazione su una funzione di variabile reale.
Applicazioni geometriche
Il significato geometrico dellâintegrale definito secondo Riemann Ăš di facile esplicitazione.
Ricordando che la somma integrale superiore Ăš lâarea dei rettangoli circoscritti alla regione del piano delimitata dal grafico della funzione e dellâasse delle ascisse e che la somma integrale inferiore Ăš invece lâarea dei rettangoli inscritti a tale regione, lâintegrale definito calcola esattamente lâarea sottesa tra il grafico della funzione e lâasse delle ascisse nellâintervallo chiuso e limitato [a,b].
![immagine 7](https://book-extracts.perlego.com/1079049/images/ebook_image_39512_5b00e61ed3aed20c-plgo-compressed.webp)
Tale risultato Ăš valido anche per le regioni di piano comprese tra due curve, dove lâintegrale definito della differenza delle funzioni rappresenta la misura dellâarea di quella regione di piano (tenendo sempre a mente che le aree geometriche sono positive e pertanto si considerano sempre i valori assoluti delle differenze).
Unâulteriore applicazione geometrica dellâintegrale definito Ăš data dal calcolo del volume e della superficie di un solido di rotazione. Difatti nellâintervallo chiuso e limitato [a,b] vale:
![immagine 8](https://book-extracts.perlego.com/1079049/images/ebook_image_39512_7fe182a0f6724ab7-plgo-compressed.webp)
Funzione integrale e teoremi
Chiamiamo invece funzione integrale (o integrale di Torricelli) una funzione data da un integrale definito in cui un estremo di integrazione Ăš fisso mentre lâaltro Ăš variabile.
![immagine 9](https://book-extracts.perlego.com/1079049/images/ebook_image_39512_b0c20af45f9af249-plgo-compressed.webp)
Il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che data una funzione f(x) integrabile e una funzione integrale costruita su di essa:
![immagine 10](https://book-extracts.perlego.com/1079049/images/ebook_image_39512_1ce377f2b6e8af41-plgo-compressed.webp)
Allora la funzione integrale Ăš continua in [a,b]. Inoltre, ...
Inhaltsverzeichnis
- Copertina
- Matematica: analisi matematica
- Indice dei contenuti
- INDICE ANALITICO
- INTRODUZIONE
- I
- II
- III
- IV
- V
- VI
Zitierstile fĂŒr Matematica: analisi matematica
APA 6 Citation
Malacrida, S. (2016). Matematica: analisi matematica ([edition unavailable]). Simone Malacrida. Retrieved from https://www.perlego.com/book/1079049/matematica-analisi-matematica-pdf (Original work published 2016)
Chicago Citation
Malacrida, Simone. (2016) 2016. Matematica: Analisi Matematica. [Edition unavailable]. Simone Malacrida. https://www.perlego.com/book/1079049/matematica-analisi-matematica-pdf.
Harvard Citation
Malacrida, S. (2016) Matematica: analisi matematica. [edition unavailable]. Simone Malacrida. Available at: https://www.perlego.com/book/1079049/matematica-analisi-matematica-pdf (Accessed: 14 October 2022).
MLA 7 Citation
Malacrida, Simone. Matematica: Analisi Matematica. [edition unavailable]. Simone Malacrida, 2016. Web. 14 Oct. 2022.