Matematica: analisi matematica

Simone Malacrida

• Publisher: Simone Malacrida
• Year: 2016
• ISBN:
  9781523606320
• Topic: Mathematics
• Subtopic: Mathematical Analysis
• Index: Mathematics

In questo libro sono presentati i presupposti teorici dei seguenti argomenti matematici:
introduzione alla topologia
limiti e calcolo dei limiti
continuità e funzioni continue
derivate e calcolo differenziale
integrali e calcolo integrale
studio di funzioni di variabile reale
Ogni argomento è trattato mettendo in risalto le applicazioni pratiche e risolvendo alcuni esercizi significativi.

V

INTEGRALI E CALCOLO INTEGRALE

Definizione

Considerando una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], si possono definire due punti all’interno di una qualunque partizione dell’intervallo dati dall’estremo inferiore e da quello superiore come segue:

Le somme integrali inferiori e superiori sono così costruite:

Definiamo somma integrale la seguente quantità:

Il limite di tale somma integrale (se esiste finito) è detto integrale di Riemann e si indica così:

E rappresenta la convergenza tra la somma integrale inferiore e quella superiore.

La funzione si dice dunque integrabile nell’intervallo chiuso [a,b].

Una condizione sufficiente per l’integrabilità è data dalla continuità della funzione su un intervallo chiuso e limitato: una funzione uniformemente continua è quindi integrabile.

Una funzione si dice assolutamente integrabile se è integrabile il suo modulo (va da sé che una funzione assolutamente integrabile è integrabile).

Proprietà e teoremi

L’integrale di Riemann gode delle proprietà di linearità, additività e monotonia.

In formule si ha:

Valgono inoltre due teoremi relativi al valore assoluto e alla media integrale:

L’integrale di Riemann fino a qui proposto è detto integrale definito ed è un funzionale ossia restituisce un valore numerico a fronte di un’operazione su una funzione di variabile reale.

Applicazioni geometriche

Il significato geometrico dell’integrale definito secondo Riemann è di facile esplicitazione.

Ricordando che la somma integrale superiore è l’area dei rettangoli circoscritti alla regione del piano delimitata dal grafico della funzione e dell’asse delle ascisse e che la somma integrale inferiore è invece l’area dei rettangoli inscritti a tale regione, l’integrale definito calcola esattamente l’area sottesa tra il grafico della funzione e l’asse delle ascisse nell’intervallo chiuso e limitato [a,b].

Tale risultato è valido anche per le regioni di piano comprese tra due curve, dove l’integrale definito della differenza delle funzioni rappresenta la misura dell’area di quella regione di piano (tenendo sempre a mente che le aree geometriche sono positive e pertanto si considerano sempre i valori assoluti delle differenze).

Un’ulteriore applicazione geometrica dell’integrale definito è data dal calcolo del volume e della superficie di un solido di rotazione. Difatti nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] vale:

Funzione integrale e teoremi

Chiamiamo invece funzione integrale (o integrale di Torricelli) una funzione data da un integrale definito in cui un estremo di integrazione è fisso mentre l’altro è variabile.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che data una funzione f(x) integrabile e una funzione integrale costruita su di essa:

Allora la funzione integrale è continua in [a,b]. Inoltre, ...

Table of contents

• Copertina
• Matematica: analisi matematica
• Indice dei contenuti
• INDICE ANALITICO
• INTRODUZIONE
• I
• II
• III
• IV
• V
• VI